Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), góc
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Dựng hình bình hành \(ACBD\). Chứng minh \(d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).
+) Dựng khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBD} \right)\).
Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
\(\angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA = {60^0}\).
Dựng hình bình hành \(ACBD\).
Ta có \(BD//AC \Rightarrow \left( {SBD} \right)//AC \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).
Do tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow AC = CB = AB = a\).
Mà \(AC = BD;\,\,CB = AD \Rightarrow AB = AD = BD = a \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh \(a\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow AM \bot BD\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AM\\BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)\).
Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM \Rightarrow AH \bot BD\,\,\left( {BD \bot \left( {SAM} \right)} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = AH\).
Xét tam giác vuông \(SAB\) ta có \(SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAM\) ta có : \(AH = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 .\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
