Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố

Câu hỏi số 317980:

Vận dụng cao

Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm 2, 3, 5. Chứng minh rằng trong 9 số đã cho tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:317980

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lý Dirichlet: Nếu nhốt \(n + 1\) con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ

Giải chi tiết

Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm 2, 3, 5

Gọi 9 số đó có dạng \({x_i} = {2^{{a_i}}}{.3^{{b_i}}}{.5^{{c_1}}}\) (\(i = 1,2,3,...,9\))

Khi lấy số dư của \({a_i},\,\,{b_i},\,\,{c_i}\) cho 2 thì ta được 1 trong 8 trường hợp sau:

\(\left\{ {\left( {0;\;0;\;0} \right),\;\left( {0;\;0;\;1} \right),\;\left( {0;\;1;\;0} \right),\;\left( {1;\;0;\;0} \right),\;\left( {1;\;1;\;0} \right),\;\left( {1;\;0;\;1} \right),\;\left( {0;\;1;\;1} \right),\;\left( {1;\;1;\;1} \right)} \right\}\)

Mà có 9 số nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại 2 số \({x_i}\) và \({x_j}\) sao cho:

\({a_i} \equiv {a_j}\left( {\bmod 2} \right)\,\,;\,\,{b_i} \equiv {b_j}\left( {\bmod 2} \right)\,\,;\,\,{c_i} \equiv {c_j}\left( {\bmod 2} \right)\)

\( \Rightarrow {a_i} + {a_j}\,\,;\,\,{b_i} + {b_j}\,\,;\,\,{c_i} + {c_j}\) đều chẵn

\( \Rightarrow {x_i}.{x_j} = {2^{{a_i} + {a_j}}}{.3^{{b_i} + {b_j}}}{.5^{{c_i} + {c_j}}}\) là một số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link