Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng:

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 31807:

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng: $8a^{4}+8b^{4}+27c^{4}\geq \frac{27}{64}(a+b+c)^{4}$

A. Click để xem đáp án.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:31807

Giải chi tiết

Nếu a+b+c=0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu a+b+c $\neq$ 0 thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$8(\frac{a}{a+b+c})^{4}+8(\frac{b}{a+b+c})^{4}+27(\frac{c}{a+b+c})^{4}\geq \frac{27}{64}(1)$

Đặt $x=\frac{a}{a+b+c}, y=\frac{b}{a+b+c}, z=\frac{c}{a+b+c}\Rightarrow$ x+y+z=1. (1) trở thành 8x⁴+8y⁴+27z⁴ $\geq$ $\frac{27}{64}$ (2)

Với hai số thực p.q bất kì ta có:

$(p-q)^{2}\geq 0\Rightarrow 2pq\leq p^{2}+q^{2}\Rightarrow (p+q)^{2}\leq 2(p^{2}+q^{2})$

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

$(x+y)^{4}=[(x+y)^{2}]^{2}\leq [2(x^{2}+y^{2})]^{2}=4(x^{2}+y^{2})^{2}\leq 4.2(x^{4}+y^{4})$

$=8(x^{4}+y^{4})$

Từ đó: $8(x^{4}+y^{4})+27z^{4}\geq (1-z)^{4}+27z^{4}=f(z)$

Ta có: f’(z)=-4(1-z)³+27.4z³; f’(z)=0 ⇔ (1-z)³=27z³1-z=3z $\Leftrightarrow$ $z=\frac{1}{4}$

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra: $8(x^{4}+y^{4})+27z^{4}\geq f(z)\geq f(\frac{1}{4})=\frac{27}{64}$

Và từ suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.