Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC=2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Câu hỏi số 31800:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\widehat{ABC}=60^{0}$ BC=2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với mặt đáy một góc 60⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

A. $\frac{4\sqrt{5}a}{5}$

B. $\frac{3\sqrt{5}a}{5}$

C. $\frac{2\sqrt{5}a}{5}$

D. $\frac{\sqrt{5}a}{5}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:31800

Giải chi tiết

Góc giữa SA và mp(ABC) là $\widehat{SAH}=60^{0}$ . Ta có:

$\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(a\sqrt{3})^{2}}=\frac{4}{3a^{2}}$ => AH= $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

=> SH $\Rightarrow SH=AH.tan60^{0}=\frac{3a}{2}$

Từ đó: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$

Ta có: $CA^{2}=CH.CB\Rightarrow CH=\frac{CA^{2}}{CB}=\frac{(a\sqrt{3})^{2}}{2a}=\frac{3a}{2}$ . Từ đó:

$\frac{d(B; (SAC))}{d(H; (SAC))}=\frac{CB}{CH}=\frac{2a}{\frac{3a}{2}}=\frac{4}{3}\Rightarrow d(B; (SAC)=\frac{4}{3}d(H; (SAC)$

Hạ HE $\perp$ AC; HK $\perp$ SE . Ta có AC $\perp$ HE, AC $\perp$ SH => AC $\perp$ (SHE). Từ đó: HK $\perp$ AC, SE => HK $\perp$ (SAC).

Từ đó: $d(B; (SAC)=\frac{4}{3}d(H; (SAC)=\frac{4}{3}HK$

Ta có: $\frac{HE}{AB}=\frac{CH}{CB}=\frac{3}{4}\Rightarrow HE=\frac{3}{4}AB=\frac{3a}{4}$

Từ đó: $HK^{2}=\frac{HS^{2}.HE^{2}}{HS^{2}+HE^{2}}=\frac{(\frac{3a}{4})^{2}.(\frac{3a}{2})^{2}}{\frac{3a}{4})^{2}+(\frac{3a}{2})^{2}}=\frac{9a^{2}}{20}\Rightarrow HK=\frac{3\sqrt{5}a}{10}$

$d(B; (SAC)=\frac{4}{3}HK=\frac{4}{3}.\frac{3\sqrt{5}a}{10}=\frac{2\sqrt{5}a}{5}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.