Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {3;1;1} \right)\), nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha

Câu hỏi số 318501:

Vận dụng

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {3;1;1} \right)\), nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x + y - z - 3 = 0\) và tạo với đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y - 4 + 3t\\z = - 3 - 2t\end{array} \right.\) một góc nhỏ nhất thì phương trình của \(\Delta \) là:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - t'\\z = 2t'\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8 + 5t'\\y = - 3 - 4t'\\z = 2 + t'\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t'\\y = 1 - t'\\z = 3 - 2t'\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t'\\y = 1 - 4t'\\z = 3 + 2t'\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318501

Phương pháp giải

+) Gọi d’ là đường thẳng qua M và song song d. Khi đó: \(\widehat {\left( {d;\Delta } \right)} = \widehat {\left( {d';\Delta } \right)}\)

+) Để \(\left( {\widehat {d;\Delta }} \right)\min \) thì \(\Delta \) là hình chiếu vuông góc của d’ lên \(\left( \alpha \right)\).

Giải chi tiết

Dễ dàng kiểm tra được \(M \in \left( \alpha \right)\).

Gọi d’ là đường thẳng qua M và song song d. Khi đó: \(\widehat {\left( {d;\Delta } \right)} = \widehat {\left( {d';\Delta } \right)}\)

Để \(\left( {\widehat {d;\Delta }} \right)\min \) thì \(\Delta \) là hình chiếu vuông góc của d’ lên \(\left( \alpha \right)\).

Phương trình đường thẳng d’ là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1 + 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\)

Lấy \(A\left( {3;4; - 1} \right) \in d'\) và \(A \ne M\). Tìm H là hình chiếu của A lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)

Đường thẳng AH nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \left( {1;1; - 1} \right)\) là 1 VTPT, có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 + t\\z = - 1 - t\end{array} \right.\)

Giả sử \(H\left( {3 + t;4 + t; - 1 - t} \right)\).

Mà \(H \in \left( \alpha \right) \Rightarrow \)\(\left( {3 + t} \right) + \left( {4 + t} \right) - \left( { - 1 - t} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{5}{3}\) \( \Rightarrow H\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {HM} \left( {\dfrac{5}{3}; - \dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {3;1;1} \right)\) và có 1 VTCP \(\left( {5; - 4;1} \right)\) có PTTS là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 3t\\y = - 4 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8 + 5t'\\y = - 3 - 4t'\\z = 2 + t'\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.