Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}},\,\forall \,x \in

Câu hỏi số 318746:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}},\,\forall \,x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 2.\) Tất cả các nguyên hàm của \(f\left( x \right){e^{2x}}\) là

A. \(\left( {x - 2} \right){e^{2x}} + {e^x} + C\)

B. \(\left( {x + 2} \right){e^{2x}} + {e^x} + C\)

C. \(\left( {x - 1} \right){e^x} + C\)

D. \(\left( {x + 1} \right){e^x} + C\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318746

Phương pháp giải

+) Sử dụng công thức \(\left( {uv} \right)' = u'v + v'u\).

+) Sử dụng phương pháp tích phân 2 vế.

+) Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần \(\int\limits_{}^{} {udv} = uv - \int\limits_{}^{} {vdu} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}} \Leftrightarrow f\left( x \right){e^x} + f'\left( x \right){e^x} = 1 \Leftrightarrow \left[ {f\left( x \right){e^x}} \right]' = 1\)

Lấy tích phân 2 vế ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^x {\left[ {f\left( x \right){e^x}} \right]'dx} = \int\limits_0^x {dx} \Leftrightarrow \left. {f\left( x \right){e^x}} \right|_0^x = \left. x \right|_0^x \Leftrightarrow f\left( x \right){e^x} - f\left( 0 \right) = x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^x} = x + 2 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right){e^{ - x}}\\ \Rightarrow f\left( x \right){e^{2x}} = \left( {x + 2} \right){e^x}\\ \Rightarrow \int\limits_{}^{} {f\left( x \right){e^{2x}}dx} = \int\limits_{}^{} {\left( {x + 2} \right){e^x}dx} = \int\limits_{}^{} {\left( {x + 2} \right)d\left( {{e^x}} \right)} \\ = \left( {x + 2} \right){e^x} - \int\limits_{}^{} {{e^x}dx} + C = \left( {x + 2} \right){e^x} - {e^x} + C = \left( {x + 1} \right){e^x} + C\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.