Trong không gian \(Oxyz,\) cho ba đường thẳng \(d:\,\,\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ -

Câu hỏi số 318752:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz,\) cho ba đường thẳng \(d:\,\,\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}};\,\,{\Delta _1}:\,\frac{{x - 3}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1};\,\) \({\Delta _2}:\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1}.\) Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(d\) đồng thời cắt \({\Delta _1},\,{\Delta _2}\) tương ứng tại\(H,\,K\) sao cho độ dài \(HK\) nhỏ nhất. Biết rằng \(\Delta \) có một vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {h;\,k;\,1} \right).\) Giá trị của \(h - k\) bằng:

A. \(0\)

B. \(4\)

C. \(6\)

D. \(-2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318752

Phương pháp giải

+) Tham số hóa tọa độ điểm \(H \in {\Delta _1},\,\,K \in {\Delta _2}\).

+) \(d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK} = 0\).

+) Tính độ dài \(HK\). Tìm điều kiện để \(HK\) nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Giả sử \(H\left( {3 + 2t;\,\,t;\,\,1 + t} \right) \in {\Delta _1},\,\,K\left( {1 + t';\,\,2 + 2t';\,\,t'} \right) \in {\Delta _2}\) ta có: \(\overrightarrow {HK} = \left( {t' - 2t - 2;\,\,2t' - t + 2;\,\,t' - t - 1} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1; - 2} \right)\).

Vì \(d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {HK} \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow t' - 2t - 2 + 2t' - t + 2 - 2\left( {t' - t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow t' - t + 2 = 0 \Leftrightarrow t' = t - 2\end{array}\)

Ta có \( \Rightarrow \overrightarrow {HK} = \left( { - t - 4;t - 2; - 3} \right) \Rightarrow H{K^2} = {\left( {t + 4} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + 9\)

\( \Leftrightarrow H{K^2} = 2{t^2} + 4t + 29 = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27\)

\( \Leftrightarrow H{K_{\min }} = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow t = - 1\). Khi đó \(\overrightarrow {HK} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)//\left( {1;1;1} \right)\).

Suy ra đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right)\) là 1 VTCP \( \Rightarrow h = k = 1\).

Vậy \(h - k = 1 - 1 = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.