Cho \(\int\limits_0^2 {2x\ln \left( {1 + x} \right)dx = a\ln b} \,\,\,\) với \(a,\,b \in \mathbb{N}*\) và \(b\)

Câu hỏi số 319335:

Thông hiểu

Cho \(\int\limits_0^2 {2x\ln \left( {1 + x} \right)dx = a\ln b} \,\,\,\) với \(a,\,b \in \mathbb{N}*\) và \(b\) là số nguyên tố. Tính \(3a + 4b.\)

A. 42

B. 21

C. 12

D. 32

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:319335

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_0^2 {2x\ln \left( {1 + x} \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\v = {x^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {{x^2}.\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}dx} = 4\ln 3 - \int\limits_0^2 {\left( {x - 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = 4\ln 3 - \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^2 = 4\ln 3 - \left( {0 + \ln 3 - 0} \right) = 3\ln 3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow 3a + 4b = 3.3 + 4.3 = 21.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.