Lúc 10 giờ sáng trên sa mạc, một nhà địa chất đang ở tại vị trí \(A\), anh ta muốn đến vị
Lúc 10 giờ sáng trên sa mạc, một nhà địa chất đang ở tại vị trí \(A\), anh ta muốn đến vị trí \(B\) (bằng ô tô) trước 12 giờ trưa, với \(AB = 70\,km.\) Nhưng trong sa mạc thì xe chỉ có thể di chuyển với vận tốc là \(30\,km/h\). Cách vị trí \(A\) \(10\,km\) có một con đường nhựa chạy song song với đường thẳng nối từ\(A\) đến \(B\). Trên đường nhựa thì xe có thể di chuyển với vận tốc \(50\,km/h\). Tìm thời gian ít nhất để nhà địa chất đến vị trí \(B\)?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
+) Tính tổng thời gian đi từ A đến B.
+) Sử dụng BĐT: \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \).
+) Sử dụng phương pháp hàm số.
Giả sử ô tô đi theo đường gấp khúc \(AMNB\) như hình vẽ bên.
Đặt \(DM = x,\,\,MN = y \Rightarrow NC = 70 - x - y\).
\( \Rightarrow AM = \sqrt {D{M^2} + A{D^2}} = \sqrt {{x^2} + {{10}^2}} ,\,\,BN = \sqrt {B{C^2} + C{N^2}} = \sqrt {{{10}^2} + {{\left( {70 - x - y} \right)}^2}} \)
Thời gian ô tô đi hết quãng đường \(AM:\,\,{t_1} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {{10}^2}} }}{{30}}\)
Thời gian ô tô đi hết quãng đường \(MN:\,\,{t_2} = \dfrac{y}{{50}}\)
Thời gian ô tô đi hết quãng đường \(NC:\,\,{t_3} = \dfrac{{\sqrt {{{10}^2} + {{\left( {70 - x - y} \right)}^2}} }}{{30}}\)
Khi đó tổng thời gian ô tô đi từ A đến B là:
\(t = {t_1} + {t_2} + {t_3} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {{10}^2}} + \sqrt {{{\left( {70 - x - y} \right)}^2} + {{10}^2}} }}{{30}} + \dfrac{y}{{50}} \ge \dfrac{{\sqrt {{{\left( {70 - y} \right)}^2} + {{20}^2}} }}{{30}} + \dfrac{y}{{50}}\)
Xét hàm số \(f\left( y \right) = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {70 - y} \right)}^2} + {{20}^2}} }}{{30}} + \dfrac{y}{{50}}\,\,\left( {0 < y < 70} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( y \right) = \dfrac{{y - 70}}{{30\sqrt {{{\left( {70 - y} \right)}^2} + {{20}^2}} }} + \dfrac{1}{{50}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{5\left( {y - 70} \right) + 3\sqrt {{{\left( {70 - y} \right)}^2} + {{20}^2}} }}{{150\sqrt {{{\left( {70 - y} \right)}^2} + {{20}^2}} }} = 0\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\left( {70 - y} \right)}^2} + {{20}^2}} = 5\left( {70 - y} \right) \Leftrightarrow 9{\left( {70 - y} \right)^2} + {9.20^2} = 25{\left( {70 - y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16{\left( {70 - y} \right)^2} = 3600 \Leftrightarrow {\left( {70 - y} \right)^2} = 225 \Leftrightarrow 70 - y = 15 \Leftrightarrow y = 55\end{array}\)
BBT:
Dựa vào BBT \( \Rightarrow \min f\left( y \right) = f\left( {55} \right) = \dfrac{{29}}{{15}}\)
Vậy thời gian ít nhất để nhà địa chất đến vị trí B là \(\dfrac{{29}}{{15}}\) giờ = 1 giờ 56 phút.
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
