Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 8{m^2}{x^2} + 1\) có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng \(64\).

Câu 319829: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 8{m^2}{x^2} + 1\) có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng \(64\).

A. \(m = - \sqrt[5]{2}.\)

B. \(m = \sqrt[5]{2}.\)

C. \(m = \pm \sqrt[5]{2}.\)

D. Không tồn tại \(m\).

Câu hỏi : 319829

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị. Xác định các điểm cực trị \(A,\,\,B,\,\,C\) của hàm số.

+) Chứng minh \(\Delta ABC\) cân. Giả sử cân tại A \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC\) với \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Đáp án : C
(20) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 4{x^3} - 16{m^2}x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 4{m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 4{m^2}\end{array} \right.\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị \( \Rightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m \ne 0\).

Khi đó ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = 2m \Rightarrow y = - 16{m^4} + 1\\x = - 2m \Rightarrow y = - 16{m^4} + 1\end{array} \right.\)

Hàm số có 3 điểm cực trị \(A\left( {0;1} \right);\,\,B\left( {2m; - 16{m^4} + 1} \right);\,\,C\left( { - 2m; - 16{m^4} + 1} \right)\)

Dễ thấy \(\Delta ABC\) cân tại \(A\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow H\left( {0; - 16{m^4} + 1} \right)\). Ta có \(AH \bot BC\).

\(AH = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 16{m^4} + 1 - 1} \right)}^2}} = 16{m^4};\,\,BC = \sqrt {{{\left( {4m} \right)}^2}} = 4\left| m \right|\)

Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.16{m^4}.4\left| m \right| = 64 \Leftrightarrow \left| {{m^5}} \right| = 2 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt[5]{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.