Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, hình chiếu của vuông góc của đỉnh \(S\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, hình chiếu của vuông góc của đỉnh \(S\) xuống mặt đáy nằm trong hình vuông \(ABCD\). Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right),\left( {SBC} \right)\) vuông góc với nhau; góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \({60^0}\); góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là \({45^0}\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\), tính \(\cos \alpha \).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian, gắn hệ trục tọa độ gốc \(A\) và các trục tọa độ sao cho \(\overrightarrow i \) cùng hướng \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow j \) cùng hướng \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow k \) hướng lên vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\).
- Sử dụng các công thức điểm, véc tơ, mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng để tính toán.
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, giả sử \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(1\), chiều cao hình chóp \(SH = h\).
Khi đó \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;1;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),C\left( {1;1;0} \right)\).
Gọi tọa độ \(H\left( {a;b;0} \right) \Rightarrow S\left( {a;b;h} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AS} = \left( {a;b;h} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {0;1;0} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SAD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - h;0;a} \right)\)
\(\overrightarrow {BS} = \left( {a - 1;b;c} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0;1;0} \right)\) \( \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - h;0;a - 1} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow {AS} = \left( {a;b;h} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SAB} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right] = \left( {0; - h;b} \right)\)
\({\overrightarrow n _{\left( {ABCD} \right)}} = \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Do \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SAD} \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = 0 \Leftrightarrow {h^2} + a\left( {a - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {h^2} + {a^2} = a\,\,\left( 1 \right)\)
Góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng \({60^0}\) \( \Rightarrow \cos {60^0} = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\left| {b\left( {a - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{h^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{h^2} + {b^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{b\left( {a - 1} \right)}}{{\sqrt {1 - a} \sqrt {{h^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \dfrac{{b\sqrt {1 - a} }}{{\sqrt {{h^2} + {b^2}} }} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{b}{{\sqrt {{h^2} + {b^2}} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt {1 - a} }}\)
Góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là \({45^0}\) \( \Rightarrow \cos {45^0} = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {SAD} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAD} \right)}}} \right|}} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\left| {ab} \right|}}{{\sqrt {{h^2} + {a^2}} \sqrt {{h^2} + {b^2}} }}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{ab}}{{\sqrt a .\sqrt {{h^2} + {b^2}} }}\)
Suy ra \(\dfrac{{ab}}{{\sqrt a .\sqrt {{h^2} + {b^2}} }}:\dfrac{{b\sqrt {1 - a} }}{{\sqrt {{h^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}:\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow a = \dfrac{2}{3}\).
Gọi góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\alpha \) \( \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {ABCD} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}} \right|\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABCD} \right)}}} \right|}} = \dfrac{b}{{\sqrt {{h^2} + {b^2}} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt {a - \dfrac{2}{3}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
