Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 4m + 5}

Câu hỏi số 320507:

Vận dụng cao

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 4m + 5} \right)x + 2019\) và \(g\left( x \right) = \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 9} \right){x^2} - 3x + 2\) (với \(m\) là tham số). Hỏi phương trình \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm?

A. 9

B. 0

C. 3

D. 1

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:320507

Phương pháp giải

+ Biến đổi và chỉ ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt

+ Chỉ ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

+ Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\)

Giải chi tiết

Xét phương trình \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 9} \right){x^2} - 3x + 2 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 10} \right){x^2} + {x^2} - 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left[ {\left( {{m^2} + 2m + 5} \right)x - 2\left( {{m^2} + 2m + 5} \right)} \right] + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2}\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2} + x - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2} + x - 1 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét phương trình (*): vì \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 5 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 > 0\\ac = - \left( {{m^2} + 2m + 5} \right) < 0;\,\forall m\\\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){.2^2} + 2 - 1 = 4{m^2} + 8m + 21 > 0\end{array} \right.\) nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \(u;v \ne 2\).

Hay \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = u\\x = v\end{array} \right.\)

+ Lại có \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 4m + 5} \right)x + 2019\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3{m^2} + 4m + 5 = {\left( {x - \left( {m + 1} \right)} \right)^2} + 2{m^2} + 2m + 3 > 0;\,\forall m\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Từ đó \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = u\,\,\,\,\left( 2 \right)\\f\left( x \right) = v\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Vì \(f\left( x \right)\) là hàm đồng biến nên mỗi phương trình \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\) đều chỉ có 1 nghiệm duy nhất và ba nghiệm của phương trình này khác nhau.

Từ đó phương trình \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.