Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = 1\) và \({z_2} = 2i{z_1}\). Tìm
Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = 1\) và \({z_2} = 2i{z_1}\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \left| {2{z_1} - {z_2}} \right|\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp hình học để tìm GTNN.
Ta có: \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \) Điểm biểu diễn của \({z_1}\) là đường tròn \(\left( {I\left( {1; - 1} \right);{R_1} = 1} \right)\)
Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2}\). Giả sử \({z_1} = a + bi,\,\,\,{z_2} = a' + b'i,\,\,\left( {a,b,a',b' \in \mathbb{R}} \right)\)
\({z_2} = 2i{z_1} \Leftrightarrow a' + b'i = 2\left( { - b + ai} \right)\)
\( \Rightarrow N\) là ảnh của M qua 2 phép biến hình: Phép quay tâm O một góc \({90^0}\) và phép vị tự tâm O tỉ số 2.
Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua O. Dựng hình bình hành OM’KN’ (như hình vẽ). Khi đó, điểm biểu diễn của số phức \(2{z_1} - {z_2}\) là điểm K, \(P = \left| {2{z_1} - {z_2}} \right| = OK\).
Dễ dàng chứng minh được OM’KN’ là hình vuông, có cạnh \(OM' = 2.OM \Rightarrow OK = \sqrt 2 .OM' = 2\sqrt 2 .OM\)
Nhận xét: \(O{K_{\min }}\) khi và chỉ khi \(O{M_{\min }} \Leftrightarrow M\) là giao điểm của đoạn thẳng OI và đường tròn \(\left( {I\left( {1; - 1} \right);{R_1} = 1} \right)\).
Khi đó, \(OK = 2\sqrt 2 .OM = 2\sqrt 2 \left( {OI - R} \right) = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 4 - 2\sqrt 2 \)\( \Rightarrow {P_{\min }} = 4 - 2\sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
