Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x

Câu hỏi số 320557:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = \left( {6x - 3{x^2}} \right)f\left( x \right)\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có nghiệm duy nhất.

A. \(\left[ \begin{array}{l}m > {e^4}\\0 < m < 1\end{array} \right.\).

B. \(1 < m < {e^4}\).

C. \(\left[ \begin{array}{l}m > {e^4}\\m < 1\end{array} \right.\)

D. \(1 \le m \le {e^4}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:320557

Phương pháp giải

Nguyên hàm hai vế. Xác định hàm số \(f\left( x \right)\).

Từ đó khảo sát hàm số \(f\left( x \right)\), tìm điều kiện để \(f\left( x \right) = m\) có nghiệm duy nhất.

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {6x - 3{x^2}} \right)f\left( x \right)\), \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \)\(\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = 6x - 3{x^2} \Rightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} dx = \int {\left( {6x - 3{x^2}} \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow \ln \left( {f\left( x \right)} \right) = 3{x^2} - {x^3} + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{3{x^2} - {x^3} + C}}\)

Mà \(f\left( 0 \right) = 1\)\( \Rightarrow {e^C} = 1 \Leftrightarrow C = 0\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{3{x^2} - {x^3}}}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {6x - 3{x^2}} \right){e^{3{x^2} - {x^3}}}\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Để \(f\left( x \right) = m\) có nghiệm duy nhất thì \(\left[ \begin{array}{l}m > {e^4}\\0 < m < 1\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.