Biết rằng phương trình \(a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0\,\,\left( {a,b,d,e \in \mathbb{R},\,\,a \ne

Câu hỏi số 321214:

Vận dụng cao

Biết rằng phương trình \(a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0\,\,\left( {a,b,d,e \in \mathbb{R},\,\,a \ne 0,\,\,\,b \ne 0} \right)\) có 4 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực?

\({\left( {4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d} \right)^2} - 2\left( {6a{x^2} + 3bx + c} \right)\left( {a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e} \right) = 0\)

A. 0

B. 2

C. 4

D. 6

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321214

Giải chi tiết

Đặt \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d\\f''\left( x \right) = 12a{x^2} + 6bx + 2c = 2\left( {6a{x^2} + 3bx + c} \right)\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} - f''\left( x \right)f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2} - f''\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right)' = 0\).

Phương trình \(a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0\) giả sử có 4 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3},\,\,{x_4}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right)\).

Ta có \(f'\left( x \right) = a\left[ \begin{array}{l}\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right) + \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, + \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_4}} \right) + \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\end{array} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{x - {x_1}}} + \dfrac{1}{{x - {x_2}}} + \dfrac{1}{{x - {x_3}}} + \dfrac{1}{{x - {x_4}}}\\ \Rightarrow \left[ {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - {x_1}} \right)}^2}}} + \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - {x_2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - {x_3}} \right)}^2}}} + \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - {x_4}} \right)}^2}}} < 0\end{array}\)

Vậy phương trình \(\left( {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right)' = 0\) vô nghiệm hay phương trình

\({\left( {4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d} \right)^2} - 2\left( {6a{x^2} + 3bx + c} \right)\left( {a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e} \right) = 0\) vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.