Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SAD\) là tam giác đều và nằm
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SAD\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CD\). Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.CMN\) là:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Gắn hệ trục tọa độ.
+) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) là trục của \(\Delta CMN\).
+) Viết phương trình mặt phẳng trung trực \(\left( P \right)\) của \(SC.\)
+) Tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.CMN\) là \(I = \left( P \right) \cap \Delta \).
+) Tính \(R = IS = IC = IM = IN\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow SH \bot AD \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Chọn \(a = 1\).
Ta có: \(D\left( {0;0;0} \right),\,\,A\left( {1;0;0} \right),\,\,B\left( {1;1;0} \right),\,\,C\left( {0;1;0} \right),\,\,S\left( {\dfrac{1}{2};0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)
\(M\left( {\dfrac{1}{2};1;0} \right),\,\,N\left( {0;\dfrac{1}{2};0} \right)\).
Gọi \(E\left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{3}{4};0} \right)\) là trung điểm của \(MN\).
Tam giác \(CMN\) vuông tại \(C \Rightarrow E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CMN\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(E\) và vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow \Delta \) nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) là VTCP \( \Rightarrow \Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4}\\y = \dfrac{3}{4}\\z = t\end{array} \right.\).
Gọi \(K\left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\) là trung điểm của \(SC\).
Ta có \(\overrightarrow {SC} = \left( { - \dfrac{1}{2};1; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)//\left( {1; - 2;\sqrt 3 } \right)\).
\( \Rightarrow \) Mặt phẳng trung trực của SC đi qua \(K\) và nhận \(\left( {1; - 2;\sqrt 3 } \right)\) là 1 VTPT có phương trình:
\(1\left( {x - \dfrac{1}{4}} \right) - 2\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right) + \sqrt 3 \left( {z - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + \sqrt 3 z = 0\,\,\left( P \right)\)
Gọi \(I = \left( P \right) \cap \Delta \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.CMN\).
\(\begin{array}{l}I \in \Delta \Rightarrow I\left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{3}{4};t} \right)\\I \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + \sqrt 3 t = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{{12}} \Rightarrow I\left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{3}{4};\dfrac{{5\sqrt 3 }}{{12}}} \right)\\ \Rightarrow R = IC = \sqrt {\dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{{25}}{{48}}} = \dfrac{{\sqrt {93} }}{{12}}.\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
