Cho \(\int\limits_{ - 1}^4 {x\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} = a\ln 6 + \dfrac{5}{b}\) với \(a,b\) là các

Câu hỏi số 321606:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_{ - 1}^4 {x\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} = a\ln 6 + \dfrac{5}{b}\) với \(a,b\) là các số nguyên dương. Giá trị \(2a + 3b\) bằng

A. \(24.\)

B. \(26.\)

C. \(27.\)

D. \(23.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321606

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tìm \(\int\limits_{ - 1}^4 {x\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} \) từ đó suy ra \(a;b\)

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x + 2} \right) = u\\xdx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + 2}}dx = du\\\dfrac{{{x^2}}}{2} = v\end{array} \right.\)

Suy ra \(\int\limits_{ - 1}^4 {x\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} = \left. {\ln \left( {x + 2} \right).\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^4 - \int\limits_{ - 1}^4 {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{1}{{x + 2}}dx} \)

\(\begin{array}{l} = 8\ln 6 - \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^4 {\left( {x - 2 + \dfrac{4}{{x + 2}}} \right)dx} \\ = 8\ln 6 - \dfrac{1}{2}\left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + 4\ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^4\\ = 8\ln 6 - \dfrac{1}{2}\left( {4\ln 6 - \dfrac{5}{2}} \right) = 6\ln 6 + \dfrac{5}{4}\end{array}\)

Theo giả thiết \(\int\limits_{ - 1}^4 {x\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} = a\ln 6 + \dfrac{5}{b}\) nên duy ra \(a = 6;b = 4 \Rightarrow 2a + 3b = 2.6 + 3.4 = 24\)

Chú ý khi giải

Ở bước \(xdx = dv \Rightarrow v = \dfrac{{{x^2} - 4}}{2}\) , ta có thể được chọn hằng số \(C = - 2\) để thuận tiện cho việc tính tích phân ở bước sau.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.