Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 11m;BC = AD = 20m;BD = AC = 21m.\) Tính thể tích khối tứ diện

Câu hỏi số 321727:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 11m;BC = AD = 20m;BD = AC = 21m.\) Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD.\)

A. \(770{m^3}\)

B. \(340{m^3}\)

C. \(720{m^3}\)

D. \(360{m^3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321727

Phương pháp giải

Dựng hình hộp chữ nhật \(AMCN.PBQD\) sao cho các đường chéo \(AB = CD = 11m;BC = AD = 20m;BD = AC = 21m.\)

Từ đó ta phân chia thể tích các hình chóp nhỏ trong hình hộp chữ nhật để tính được \({V_{ABCD}}\) theo thể tích hình hôp chữ nhật.

Dựa vào định lý Pytago để tính các kích thước của hình hộp chữ nhật từ đó suy ra thể tích \({V_{ABCD}}\)

Giải chi tiết

Dựng hình hộp chữ nhật \(AMCN.PBQD\) như hình bên. Khi đó tứ diện \(ABCD\) thỏa mãn \(AB = CD = 11m;BC = AD = 20m;BD = AC = 21m.\)

Gọi các kích thước hình hộp chữ nhật là \(m;n;p\) . Gọi \(V = {V_{AMCN.PBQD}} = m.n.p\)

Ta có: \({V_{PA{\rm{D}}B}} = {V_{MABC}} = {V_{QBC{\rm{D}}}} = {V_{NAC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}.ND.{S_{ACN}}\) \( = \frac{1}{3}.ND.\frac{1}{2}.AN.NC = \frac{1}{6}.ND.NA.NC = \frac{1}{6}m.n.p = \frac{1}{6}{V_{AMCN.PBQ{\rm{D}}}}\)

Suy ra \({V_{PA{\rm{D}}B}} + {V_{MABC}} + {V_{QBC{\rm{D}}}} + {V_{NAC{\rm{D}}}} = \frac{1}{6}V + \frac{1}{6}V + \frac{1}{6}V + \frac{1}{6}V = \frac{2}{3}V\) mà \({V_{PA{\rm{D}}B}} + {V_{MABC}} + {V_{QBC{\rm{D}}}} + {V_{NAC{\rm{D}}}} + {V_{ABCD}} = V\)

Suy ra: \({V_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}V = m.n.p\)

Xét các tam giác vuông \(APB;\,APD;PDB\), theo định lý Pytago ta có

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} = B{D^2}\\{m^2} + {p^2} = A{D^2}\\{p^2} + {n^2} = A{B^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} = {21^2}\\{m^2} + {p^2} = {20^2}\\{p^2} + {n^2} = {11^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} + {p^2} = 481\\{m^2} + {n^2} = {21^2}\\{m^2} + {p^2} = {20^2}\\{p^2} + {n^2} = {11^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 6\sqrt {10} \\n = 9\\p = 2\sqrt {10} \end{array} \right.\)

\({V_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}m.n.p = \frac{1}{3}.6\sqrt {10} .9.2\sqrt {10} = 360{m^3}\)

Chú ý khi giải

Đối với tứ diện gần đều \(ABCD\) có \(AB = CD = a,AC = BD = b,AD = BC = c\) thì ta có công thức thể tích

\({V_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {( - {a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} - {b^2} + {c^2})({a^2} + {b^2} - {c^2})} \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.