Cho ba số thực dương \(x,y,z\). Biểu thức \(P = \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) +

Câu hỏi số 321960:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(x,y,z\). Biểu thức \(P = \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + \dfrac{x}{{yz}} + \dfrac{y}{{zx}} + \dfrac{z}{{xy}}\) có giá trị nhỏ nhất bằng:

A. \(\dfrac{{11}}{2}\)

B. \(\dfrac{5}{2}\)

C. \(\dfrac{9}{2}\)

D. \(9\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321960

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \({x^2},\,\,\dfrac{y}{{zx}},\,\,\dfrac{z}{{xy}}\).

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + \dfrac{y}{{zx}} + \dfrac{z}{{xy}} \ge 3\sqrt[3]{{{x^2}.\dfrac{y}{{zx}}.\dfrac{z}{{xy}}}} = 3\\{y^2} + \dfrac{x}{{yz}} + \dfrac{z}{{xy}} \ge 3\sqrt[3]{{{y^2}.\dfrac{x}{{yz}}.\dfrac{z}{{xy}}}} = 3\\{z^2} + \dfrac{x}{{yz}} + \dfrac{y}{{zx}} \ge 3\sqrt[3]{{{z^2}.\dfrac{x}{{yz}}.\dfrac{y}{{zx}}}} = 3\end{array}\)

Cộng vế:

\( \Rightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + 2\left( {\dfrac{x}{{yz}} + \dfrac{y}{{zx}} + \dfrac{z}{{xy}}} \right) \ge 9 \Leftrightarrow P = \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + \dfrac{x}{{yz}} + \dfrac{y}{{zx}} + \dfrac{z}{{xy}} \ge \dfrac{9}{2}\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \dfrac{y}{{zx}} = \dfrac{z}{{xy}}\\{y^2} = \dfrac{x}{{yz}} = \dfrac{z}{{xy}}\\{z^2} = \dfrac{x}{{yz}} = \dfrac{y}{{zx}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10