Cho \(a,b,c\) là các số không âm và thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4\). Giá trị nhỏ nhất và

Câu hỏi số 321959:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số không âm và thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4\). Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) lần lượt là:

A. 1 và 3

B. 2 và 4

C. 2 và 3

D. 3 và 4

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321959

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm \({a^2},\,\,{b^2},\,\,{c^2}\).

Giải chi tiết

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4 - abc \le 4 \Rightarrow S \le 4\)

\(4 = {a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \sqrt {{a^2}{b^2}{c^2}} \) (*)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \({a^2}{b^2}{c^2} \le \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}}\)

Từ (*) \( \Rightarrow 4 \le {a^2} + {b^2} + {c^2} + \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}}} \Leftrightarrow S + \sqrt {\dfrac{{{S^3}}}{{27}}} \ge 4\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{{{S^3}}}{{27}}} \ge 4 - S \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - S \ge 0\\\dfrac{{{S^3}}}{{27}} \ge {\left( {4 - S} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S \le 4\\{S^3} - 27{S^2} + 216S - 432 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S \le 4\\\left( {S - 3} \right){\left( {S - 12} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S \le 4\\S \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le S \le 4\end{array}\)

Vậy \({S_{\min }} = 3,\,\,{S_{\max }} = 4\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.