Cho \(a,b,c\) là các số không âm và thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4\). Giá trị nhỏ nhất và

Câu hỏi số 321959:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số không âm và thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4\). Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) lần lượt là:

A. 1 và 3

B. 2 và 4

C. 2 và 3

D. 3 và 4

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321959

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm \({a^2},\,\,{b^2},\,\,{c^2}\).

Giải chi tiết

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4 - abc \le 4 \Rightarrow S \le 4\)

\(4 = {a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \sqrt {{a^2}{b^2}{c^2}} \) (*)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \({a^2}{b^2}{c^2} \le \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}}\)

Từ (*) \( \Rightarrow 4 \le {a^2} + {b^2} + {c^2} + \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}}} \Leftrightarrow S + \sqrt {\dfrac{{{S^3}}}{{27}}} \ge 4\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{{{S^3}}}{{27}}} \ge 4 - S \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - S \ge 0\\\dfrac{{{S^3}}}{{27}} \ge {\left( {4 - S} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S \le 4\\{S^3} - 27{S^2} + 216S - 432 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S \le 4\\\left( {S - 3} \right){\left( {S - 12} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S \le 4\\S \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le S \le 4\end{array}\)

Vậy \({S_{\min }} = 3,\,\,{S_{\max }} = 4\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10