a) Chứng minh rằng phương trình \((a{x^2} + 2bx + c)(b{x^2} + 2cx + a)(c{x^2} + 2ax + b) = 0\) luôn có
a) Chứng minh rằng phương trình \((a{x^2} + 2bx + c)(b{x^2} + 2cx + a)(c{x^2} + 2ax + b) = 0\) luôn có nghiệm với mọi số thực \(a,\,\,b,\,\,c.\)
b) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy cho \(\left( P \right):\,\,\,y = {x^2}.\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = mx + 2m,\,\) với \(m\) là tham số. Gọi A và H lần lượt là giao điểm của (d) với trục hoành và trục tung. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để (d) cắt (P) tại 2 điểm C và D nằm về 2 phía trục tung sao cho C có hoành độ âm và \(BD = 2AC.\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
a) Giải phương trình tích.
b) Tìm điều kiện của \(m\) để \(d\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.
+) Tìm tọa độ các điểm A, B.
+) Áp dụng hệ thức Vi-ét và các giả thiết bài cho để tìm \(m.\)
a) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi số thực a, b, c \((a{x^2} + 2bx + c)(b{x^2} + 2cx + a)(c{x^2} + 2ax + b) = 0\).
Ta có: \(\left( {a{x^2} + 2bx + c} \right)\left( {b{x^2} + 2cx + a} \right)\left( {c{x^2} + 2ax + b} \right) = 0\,\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a{x^2} + 2bx + c = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\b{x^2} + 2cx + a = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\c{x^2} + 2ax + b = 0\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} = 4{b^2} - 4ac = 4({b^2} - ac)\\{\Delta _2} = 4{c^2} - 4ba = 4({c^2} - ab)\\{\Delta _3} = 4{a^2} - 4bc = 4({a^2} - bc)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \Delta _1^{} + \Delta _2^{} + \Delta _3^{} = 4({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc) = 2{\left( {a - b} \right)^2} + 2{\left( {a - c} \right)^2} + 2{\left( {b - c} \right)^2}\\ \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} + {\Delta _3} \ge 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Luôn tồn tại 1 biểu thức \(\Delta \ge 0 \Rightarrow \left( * \right)\) luôn có nghiệm với mọi \(a,\,b,\,c.\)
b) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy cho \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:\,\,y = mx + 2m,\,\,m\) là tham số. Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d) với trục hoành và trục tung. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm C và D nằm về 2 phía trục tung sao cho C có hoành độ âm, \(BD = 2AC.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right):\,\,{x^2} = mx + 2m \Leftrightarrow {x^2} - mx - 2m = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Có : \(\Delta = {m^2} + 8m.\)
\(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 8m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 8\end{array} \right..\)
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}d \cap Ox = \left\{ A \right\} \Rightarrow A\left( { - 2;\,0} \right)\\d \cap Oy = \left\{ B \right\} \Rightarrow B\left( {0;\,\,2m} \right)\end{array} \right..\)
Gọi \(C\left( {{x_1};\,{y_1}} \right),\,\,D\left( {{x_2};\,{y_2}} \right)\) là các giao điểm của \(d,\,\,\left( P \right) \Rightarrow {x_1},\,\,{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \(\left( * \right).\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 2m\end{array} \right..\)
C và D nằm về 2 phía trục tung và C có hoành độ âm nên : \({x_1} < 0;\,\,{x_2} > 0 \Rightarrow {x_1}{x_2} < 0 \Leftrightarrow - 2m < 0 \Leftrightarrow m > 0.\)
Gọi E và F thứ tự là hình chiếu của C lên trục Ox và D lên trục Oy.
\(\begin{array}{l}CE = \left| {{y_1}} \right| = \left| {m{x_1} + 2m} \right| = m\left( {{x_1} + 2} \right).\\BF = \left| {{y_F} - {y_B}} \right| = \left| {{y_2} - {y_B}} \right| = m{x_2} + 2m - 2m = m{x_2}.\end{array}\)
Ta có \(DF//{\rm{ }}Ox\) và \(CE{\rm{ }}//{\rm{ }}Oy\) nên :
\(\begin{array}{l}\Delta ACE \sim \Delta DBF(g.g)\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CE}}{{FB}} = \frac{1}{2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{m\left( {{x_1} + 2} \right)}}{{m{x_2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + 2}}{{{x_2}}} = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {do\,\,m > 0} \right)\\ \Rightarrow {x_2} = 2{x_1} + 4 \Rightarrow {x_1} + 2{x_1} + 4 = m\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{m - 4}}{3}\\{x_2} = \frac{{2m + 4}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {m - 4} \right)\left( {2m + 4} \right) = - 18m\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 18m - 16 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 7m - 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 8} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 8\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy giá trị cần tìm là \(m = 1.\)
Đáp án cần chọn là: B
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
