Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) có góc A tù, \(AB < AC\) và H là trực tâm của
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) có góc A tù, \(AB < AC\) và H là trực tâm của tam giác. Các đường AH, BH, CH lần lượt cắt BC, CA, AB tại D, E, F.
a) CMR: AO vuông EF.
b) Gọi K là giao điểm thứ hai của AO với đường tròn ngoại tiếp tam giác OHD. Chứng minh rằng EF là trung trực của AK.
Quảng cáo
a) Chứng minh rằng: \(AO \bot EF.\)
Xét tứ giác BEFC có: \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\)
Lại có hai góc này hai góc có đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh BC
\( \Rightarrow BEFC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle FEC = \angle FBC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FC).
Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle AOC = 2\angle BFC\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC)
\( \Rightarrow \angle AOC = 2\angle FEC.\)
Xét \(\Delta AOC\) cân tại O có:
\(\begin{array}{l}\angle OAC = \frac{{{{180}^0} - \angle AOC}}{2} = \frac{{{{180}^0} - 2\angle FBC}}{2} = {90^0} - \angle FEC\\ \Rightarrow \angle FEC + \angle KAE = {90^0} - \angle FEC + \angle FEC = {90^0}\end{array}\)Do \(\angle AOC = \angle KAE\) (hai góc đối đỉnh).
\( \Rightarrow AO \bot EF.\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)
b) Gọi K là giao điểm thứ 2 của AO với đường tròn ngoại tiếp tam giác OHD. Chứng minh rằng EF là trung trực của AK.
Xét \(\Delta HKA\) và \(\Delta ODA\) ta có:
\(\angle KAH = \angle DAO\) (hai góc đối đỉnh)
\(\angle HKA = \angle ODA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OH\) trong đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OHD\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta HKA \sim \Delta ODA\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AK}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AO}} \Rightarrow AK.AO = AH.HD\end{array}\)
Xét \(\Delta HEA\) và \(\Delta CDA\) ta có:
\(\angle HEC = \angle CDA = {90^0}\)
\(\angle EAH = \angle DAC\) (hai góc đối đỉnh)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta HEA \sim \Delta CDA\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AH}}{{CA}} = \frac{{EA}}{{DA}} \Rightarrow AH.AD = EA.CA\end{array}\)
\( \Rightarrow AK.AO = EA.CA\,\,\left( { = AH.AD} \right) \Rightarrow \frac{{AK}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AO}}\)
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ACO\) ta có:
\(\angle EAK = \angle OAC\,\,\,\) (hai góc đối đỉnh)
\(\begin{array}{l}\frac{{AK}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AO}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ACO\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle KEA = \angle COA = 2\angle FEC\) (hai góc tương ứng)
\( \Rightarrow EF\) là phân giác của \(\angle KEA.\).
\( \Rightarrow \Delta KEA\) cân tại K và EF là đường trung trực của AK. (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
