Biết tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {5x - 1} \right)^n}\) bằng

Câu hỏi số 322539:

Vận dụng

Biết tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {5x - 1} \right)^n}\) bằng \({2^{100}}.\) Tìm hệ số của \({x^3}.\)

A. \( - 161700\)

B. \( - 19600\)

C. \( - 2450000\)

D. \( - 20212500\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:322539

Phương pháp giải

Sử dụng công thức khai triển của nhị thức : \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.} \)

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {5x - 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {5x} \right)}^k}{{\left( { - 1} \right)}^{n - k}}} \)

Chọn \(x = 1\) ta được tổng các hệ số của khai triển

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {5.1 - 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{5^k}{{\left( { - 1} \right)}^{n - k}} = {2^{100}}} \\ \Leftrightarrow {2^{100}} = {4^n} \Leftrightarrow {2^{100}} = {2^{2n}} \Leftrightarrow 2n = 100 \Leftrightarrow n = 50.\end{array}\)

Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển là: \(C_{50}^3{.5^3}.{\left( { - 1} \right)^{50 - 3}} = - C_{50}^3{.5^3} = - 2450000.\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.