Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {0;0;3} \right),\,\,B\left( { - 2;0;1}

Câu hỏi số 322696:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {0;0;3} \right),\,\,B\left( { - 2;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,2x - y + 2z + 8 = 0\). Hỏi có bao nhiêu điểm \(C\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) sao cho tam giác \(ABC\) đều.

A. 2

B. 0

C. 1

D. vô số

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:322696

Phương pháp giải

+) Gọi \(C\left( {a;b;c} \right) \in \left( \alpha \right) \Rightarrow \) phương trình (1)

+) Tam giác \(ABC\) đều \( \Leftrightarrow AB = BC = CA\) \( \Rightarrow \) Phương trình (2), (3).

+) Giải hệ 3 phương trình 3 ẩn \(a,b,c\).

Giải chi tiết

Gọi \(C\left( {a;b;c} \right) \in \left( \alpha \right) \Rightarrow 2a - b + 2c + 8 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Tam giác \(ABC\) đều \( \Leftrightarrow AB = BC = CA\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{B^2} = A{C^2}\\A{C^2} = B{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\ - 6c + 9 = 4a + 4 - 2c + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\4a + 4c = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\,\,\left( 2 \right)\\a + c = 1\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2a - b + 2c + 8 = 0\,\\{a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = 8\\a + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1 - a\\2a - b + 2\left( {1 - a} \right) + 8 = 0\\{a^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = 8\,\,\left( {vo\,nghiem} \right)\end{array} \right.\)

Vậy không có điểm \(C\) nào thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.