Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(\angle SBA = \angle SCA =
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(\angle SBA = \angle SCA = {90^0}\). Biết góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(ABC\) bằng \({45^0}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(AC\) là:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Trong \(\left( {ABC} \right)\) gọi \(AH\) là đường kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) . Chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
+) Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ đường thẳng qua \(B\) song song với \(AC\) cắt \(HC\) tại \(M\). Chứng minh \(d\left( {SB;AC} \right) = d\left( {C;\left( {SBM} \right)} \right)\).
+) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh, chứng minh \(d\left( {C;\left( {SBM} \right)} \right) = 3d\left( {H;\left( {SBM} \right)} \right)\).
+) Dựng khoảng cách từ \(H\) đến \(\left( {SBM} \right)\) và tính.
Trong \(\left( {ABC} \right)\) gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), gọi \(AH\) là đường kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
\( \Rightarrow HB \bot AB,\,\,HC \bot AC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AB\\SB \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SBH} \right) \Rightarrow AB \bot SH\).
Chứng minh tương tự ta có \(AC \bot SH\).
\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ đường thẳng qua song song với cắt \(HC\) tại \(M\).
Ta có \(AC//BM \Rightarrow d\left( {SB;AC} \right) = d\left( {AC;\left( {SBM} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {SBM} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), gọi \(AH\) là đường kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
\( \Rightarrow HB \bot AB,\,\,HC \bot AC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AB\\SB \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SBH} \right) \Rightarrow AB \bot SH\).
Chứng minh tương tự ta có \(AC \bot SH\).
\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ đường thẳng qua song song với cắt \(HC\) tại \(M\).
Ta có \(AC//BM \Rightarrow d\left( {SB;AC} \right) = d\left( {AC;\left( {SBM} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {SBM} \right)} \right)\).
Ta có \(CH \bot AC \Rightarrow CM \bot BM\).
Xét tam giác vuông \(ACH\) có: \(CH = AC.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Xét tam giác vuông \(BM\) có: \(CM = BC.\cos {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(CH \cap \left( {SBM} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {H;\left( {SBM} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBM} \right)} \right)}} = \dfrac{{HM}}{{CM}} = 1 - \dfrac{{CH}}{{CM}} = 1 - \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{1}{3}\)
Trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(HK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BM \bot HM\\BM \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BM \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot BM\\HK \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBM} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBM} \right)} \right) = HK\end{array}\)
Ta có: \(\angle \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;HA} \right) = \angle SAH = {45^0}\).
\( \Rightarrow \Delta SAH\) vuông cân tại \(H \Rightarrow SH = AH = \dfrac{{AC}}{{cos{{30}^0}}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).
\(HM = \dfrac{1}{3}CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông .. ta có:
\(HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\sqrt {\dfrac{{4{a^2}}}{3} + \dfrac{{3{a^2}}}{{36}}} }} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{3}}}{{\dfrac{{a\sqrt {51} }}{6}}} = \dfrac{{2a\sqrt {51} }}{{51}}\) .
Vậy \(d\left( SB;AC \right)=\dfrac{2a\sqrt{51}}{17}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
