Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( {8;5; - 11} \right),\,\,B\left( {5;3; - 4}

Câu hỏi số 322703:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( {8;5; - 11} \right),\,\,B\left( {5;3; - 4} \right),\,\,C\left( {1;2; - 6} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\). Gọi điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm trên \(\left( S \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm \(a + b\).

A. \(9\)

B. \(4\)

C. \(2\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:322703

Giải chi tiết

Gọi điểm \(I\left( a;\,b;\,c \right)\) thỏa mãn: \(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {8 - a;\,\,5 - b; - 11 - c} \right) - \left( {5 - a;\,3 - b;\, - 4 - c} \right) - \left( {1 - 1;\,2 - b;\, - 6 - c} \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8 - a - 5 + a - 1 + a = 0\\
5 - b - 3 + b - 2 + b = 0\\
- 11 - c + 4 + c + 6 + c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
b = 0\\
c = 1
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 2;\,0;\,1} \right).
\end{array}\)

Theo đề bài ta có: \(\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|\,\,\,Min\)

\(\Rightarrow \left| \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IC} \right|=\left| 3\overrightarrow{MI}+\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right) \right|=3\left| \overrightarrow{MI} \right|\,=3MI\,Min\)

Ta có: \(\left( S \right)\) có tâm \(J\left( 2;\,4;-1 \right),\,\,R=3.\) \(M\in \left( S \right)\Rightarrow M{{I}_{\min }}=IJ-R=\sqrt{16+16+4}-3=3.\)

Có: \(\overrightarrow{IJ}=\left( 4;\,4;-2 \right)=2\left( 2;\,2;-1 \right)\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(IJ:\,\,\)\(\left\{ \begin{align}x=-2+2t \\ y=2t \\ z=1-t \\ \end{align} \right..\)

\(\begin{array}{l}
M \in IJ \Rightarrow M\left( { - 2 + 2t;\,2t;\,1 - t} \right)\\
M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( { - 4 + 2t} \right)^2} + {\left( {2t - 4} \right)^2} + {\left( {2 - t} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow 9{\left( {t - 2} \right)^2} = 9\\
\Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t - 2 = 1\\
t - 2 = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 3 \Rightarrow M\left( {4;\,6; - 2} \right)\\
t = 1 \Rightarrow M\left( {0;\,2;\,0} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do \(MI=3\Rightarrow M\left( 0;\,2;\,0 \right)\) thỏa mãn \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}a=0 \\ b=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow a+b=2.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.