Từ điểm A ngoài đường tròn (O; R), dựng hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN (B, C là các

Câu hỏi số 323134:

Vận dụng

Từ điểm A ngoài đường tròn (O; R), dựng hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN (B, C là các tiếp điểm, tia AN nằm giữa AB và AO, M nằm giữa A và N). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a) Chứng minh AO vuông góc BC và tứ giác ABOC nội tiếp.

b) Chứng minh: AM. AN = AH. AO.

c) Đoạn thẳng AO cắt (O, R) tại I. Chứng minh MI là tia phân giác góc AMH.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:323134

Phương pháp giải

a) Chứng minh đây là tứ giác có 2 góc đối diện vuông.

b) Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh.

c) Chú ý: chứng minh tứ giác MHON là tứ giác nội tiếp.

Giải chi tiết

a) Chứng minh AO vuông góc BC và tứ giác ABOC nội tiếp.

Do AB, AC là các tiếp tuyến của (O) nên: \(\angle ABO = \angle ACO = {90^0}\) (định nghĩa)

Xét tứ giác \(ABOC\) ta có:

\(\angle ABO + \angle ACO = {180^0}\)

\( \Rightarrow ABOC\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

Ta có \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Và \(AO\) là phân giác của \(\angle BAC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A\) có đường phân giác \(AH \Rightarrow AH\) cũng là đường cao của \(\Delta ABC \Rightarrow AH \bot BC\) hay \(AO \bot BC = \left\{ H \right\}.\) (đpcm).

b) Chứng minh: AM. AN = AH. AO.

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABO\) vuông tại \(B,\) có đường cao \(BH\) ta có: \(AH.AO = A{B^2}.\)

Ta có: \(\angle ABM = \angle ANB = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,BM\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BM)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ANB\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle ABM = \angle ANM\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle BAM\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ABM \sim \Delta ANB\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AM.AN.\\ \Rightarrow AH.AO = AM.AN\,\,\left( { = A{B^2}} \right).\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

c) AO cắt (O, R) tại I. Chứng minh MI là phân giác góc AMH.

Ta có: \(AM.AN = AH.AO\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\)

Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AON\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle A\,\,chung\\\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AMH \sim \Delta AON\,\,\left( {g - c - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle AMH = \angle AON\) (hai góc tương ứng).

Xét tứ giác \(MHON\) ta có: \(\angle AMH = \angle AON\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow MHON\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

\( \Rightarrow \angle IHM = \angle MNO\) (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Ta có : \(\angle IMN\) là góc nội tiếp chắn cung \(IN \Rightarrow \angle IMN = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,ICN\)

\(\angle NOI = sd\,\,cung\,\,NBI\) (góc ở tâm chắn cung \(NBI\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AMI = {180^0} - \angle IMN = {180^0} - \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,NCI = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,NBI = \frac{1}{2}\angle NOI\\ \Rightarrow \angle NOI = \angle AMH = 2\angle AMI.\end{array}\)

Vậy \(MI\) là tia phân giác của \(\angle AMH.\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link