Cho phương trình \({z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 9 = 0\). Có \(4\) nghiệm phức phân biệt là

Câu hỏi số 324005:

Vận dụng

Cho phương trình \({z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 9 = 0\). Có \(4\) nghiệm phức phân biệt là \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\). Tính giá trị biểu thức \(T = \left( {z_1^2 + 4} \right)\left( {z_2^2 + 4} \right)\left( {z_3^2 + 4} \right)\left( {z_4^2 + 4} \right)\)

A. \(T = 2i\)

B. \(T = 1\)

C. \(T = - 2i\)

D. \(T = 0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:324005

Phương pháp giải

- Viết lại vế trái của phương trình: \(f\left( z \right) = {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 9 = \left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right)\left( {z - {z_3}} \right)\left( {z - {z_4}} \right)\)

- Biến đổi \(T\) làm xuất hiện các tích \(\left( {w - {z_1}} \right)\left( {w - {z_2}} \right)\left( {w - {z_3}} \right)\left( {w - {z_4}} \right)\), ở đó \(w\) là một số phức đã biết và tính \(f\left( w \right)\) suy ra kết quả.

Giải chi tiết

Đặt \(f\left( z \right) = {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 9 = \left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_3}} \right)\left( {z - {z_3}} \right)\left( {z - {z_4}} \right)\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}T = \left( {z_1^2 + 4} \right)\left( {z_2^2 + 4} \right)\left( {z_3^2 + 4} \right)\left( {z_4^2 + 4} \right)\\\,\,\,\, = \left( {{z_1} - 2i} \right)\left( {{z_1} + 2i} \right)\left( {{z_2} - 2i} \right)\left( {{z_2} + 2i} \right)\left( {{z_3} - 2i} \right)\left( {{z_3} + 2i} \right)\left( {{z_4} - 2i} \right)\left( {{z_4} + 2i} \right)\\\,\,\,\, = \left[ {\left( {{z_1} - 2i} \right)\left( {{z_2} - 2i} \right)\left( {{z_3} - 2i} \right)\left( {{z_4} - 2i} \right)} \right]\left[ {\left( {{z_1} + 2i} \right)\left( {{z_2} + 2i} \right)\left( {{z_3} + 2i} \right)\left( {{z_4} + 2i} \right)} \right]\\\,\,\,\, = \left[ {\left( {2i - {z_1}} \right)\left( {2i - {z_2}} \right)\left( {2i - {z_3}} \right)\left( {2i - {z_4}} \right)} \right]\left[ {\left( { - 2i - {z_1}} \right)\left( { - 2i - {z_2}} \right)\left( { - 2i - {z_3}} \right)\left( { - 2i - {z_4}} \right)} \right]\\\,\,\,\, = f\left( {2i} \right).f\left( { - 2i} \right) = 1.1 = 1\end{array}\)

Vậy \(T = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.