Cho tứ diện \(ABCD\), trên các cạnh \(BC\), \(BD\), \(AC\) lần lượt lấy các điểm \(M\), \(N\), \(P\)

Câu hỏi số 324011:

Vận dụng cao

Cho tứ diện \(ABCD\), trên các cạnh \(BC\), \(BD\), \(AC\) lần lượt lấy các điểm \(M\), \(N\), \(P\) sao cho \(BC = 3BM\), \(BD = \dfrac{3}{2}BN\), \(AC = 2AP\). Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành hai phần có thể tích là \({V_1}\), \({V_2}\). Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

A. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{26}}{{13}}\)

B. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{26}}{{19}}\)

C. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{3}{{19}}\)

D. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{15}}{{19}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:324011

Phương pháp giải

- Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi \(\left( {MNP} \right)\).

- Phân chia các khối đa diện thành cách khối chóp tam giác có thể tính được tỉ số thê tích.

- Tính các tỉ số đoạn thẳng, suy ra tỉ số thể tích các khối chóp tam giác theo định lý tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

Gọi \({V_{ABCD}} = V\), \(I = MN \cap CD\), \(Q = IP \cap AD\) ta có \(Q = AD \cap \left( {MNP} \right)\)

Thiết diện của tứ diện \(ABCD\) được cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là tứ giác \(MNQP\).

Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác \(BCD\) và \(ACD\) ta có:

\(\dfrac{{NB}}{{ND}}.\dfrac{{ID}}{{IC}}.\dfrac{{MC}}{{MB}} = 1\) \( \Rightarrow \dfrac{{ID}}{{IC}} = \dfrac{1}{4}\) và \(\dfrac{{ID}}{{IC}}.\dfrac{{PC}}{{PA}}.\dfrac{{QA}}{{QD}} = 1\) \( \Rightarrow \dfrac{{QA}}{{QD}} = 4\).

Áp dụng bài toán tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác, ta có:

\(\dfrac{{{V_{ANPQ}}}}{{{V_{ANCD}}}}\)\( = \dfrac{{AP}}{{AC}}.\dfrac{{AQ}}{{AD}}\)\( = \dfrac{2}{5}\)\( \Rightarrow {V_{ANPQ}} = \dfrac{2}{5}{V_{ANCD}} = \dfrac{2}{5}.\dfrac{{ND}}{{BD}}.{V_{ABCD}}\)\( = \dfrac{2}{5}.\dfrac{1}{3}V = \dfrac{2}{{15}}V\).

Suy ra \({V_{N.PQDC}} = \dfrac{1}{3}V - \dfrac{2}{{15}}V\)\( = \dfrac{1}{5}V\).

Và \(\dfrac{{{V_{CMNP}}}}{{{V_{CBNA}}}}\)\( = \dfrac{{CM}}{{CB}}.\dfrac{{CP}}{{CA}}\)\( = \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow {V_{CMNP}} = \dfrac{1}{3}{V_{CBNA}}\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}{V_{ABCD}} = \dfrac{2}{9}V\).

Suy ra \({V_2} = {V_{N.PQDC}} + {V_{CMNP}} = \dfrac{{19}}{{45}}V\). Do đó \({V_1} = V - {V_2}\)\( = \dfrac{{26}}{{45}}V\). Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{26}}{{19}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.