Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = -

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 3250:

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}}$ - $\frac{2}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}$

A. P = $\frac{1}{4}$

B. P = $-\frac{1}{4}$

C. P = $-\frac{1}{3}$

D. P = $\frac{1}{3}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3250

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có

a² + b² + c² + 1 ≥ $\frac{1}{2}$ (a + b)² + $\frac{1}{2}$ (c + 1)² ≥ $\frac{1}{4}$ (a + b + c + 1)²

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≤ $\left ( \frac{a+b+c+3}{3} \right )^{3}$

Suy ra P ≤ $\frac{2}{a+b+c+1}$ - $\frac{54}{\left ( a+b+c+3 \right )^{3}}$

Đặt t = a + b + c +1, t > 1. Khi đó ta có P ≤ $\frac{2}{t}$ - $\frac{54}{\left ( t+2 \right )^{3}}$

Xét hàm f(t) = $\frac{2}{t}$ - $\frac{54}{\left ( t+2 \right )^{3}}$ trên (1; +∞). Ta có

f'(t) = $-\frac{2}{t^{2}}$ + $\frac{54.3}{\left ( t+2 \right )^{4}}$ = 0 ⇔ 9t = (t + 2)² ⇔ $\begin{bmatrix} t=1\\t=4 \end{bmatrix}$

f'(t) > 0 ⇔ 1 < t < 4

Suy ra bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên suy ra P ≤ $\frac{1}{4}$ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

t = 4 ⇔ a = b = c = 1

Vậy giá trị lớn nhất của P = $\frac{1}{4}$ , đạt được lhi a = b = c = 1

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.