Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $I$ cạnh $AB = 3a,\,BC = 4a.$ Hình chiếu

Câu hỏi số 325156:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $I$ cạnh $AB = 3a,\,BC = 4a.$ Hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm $ID$. Biết rằng $SB$ tạo với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ một góc ${45^0}$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$

A. $\dfrac{{125\pi }}{2}{a^2}$

B. $4\pi {a^2}$

C. $\dfrac{{25\pi }}{2}{a^2}$

D. $\dfrac{{125\pi }}{4}{a^2}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325156

Phương pháp giải

+) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp là giao điểm của trục của mặt đáy và mặt phẳng trung trực của 1 cạnh bên.

+) Áp dụng các kiến thức đã học tính bán kính mặt cầu. Từ đó áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu bán kính $R:\;\;S = 4\pi {R^2}.$

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của ID $ \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).$

Qua I dựng đường thẳng d song song với SH, đường thẳng này chính là trục của hình chóp SABCD.

Dựng đường thẳng trung trực của cạnh SB, cắt đường thẳng d tại K.

Khi đó K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có: $\angle \left( {SB,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB,\,\,BH} \right) = \angle SBH = {45^0}.$

$BD = 5a \Rightarrow BH = \dfrac{3}{4}BD = \dfrac{{15a}}{4} = SH \Rightarrow SB = BH\sqrt 2 = \dfrac{{15a\sqrt 2 }}{4}$.

Gọi $E = d \cap SB$. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{{IE}}{{AH}} = \dfrac{{IB}}{{BH}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow IE = \dfrac{2}{3}SH = \dfrac{{5a}}{2}$.

$\dfrac{{EB}}{{SB}} = \dfrac{{IB}}{{HB}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow EB = \dfrac{2}{3}SB = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{2};\,\,AM = MB = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{{15a\sqrt 2 }}{8}$.

$ \Rightarrow EM = EB - MB = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{8}$.

$\angle SBH = {45^0} \Rightarrow \angle MEK = {45^0} \Rightarrow \Delta EMK$ vuông cân tại $M \Rightarrow MK = ME = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{8}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $MBK$ ta có :

$KB = \sqrt {K{M^2} + M{B^2}} = \sqrt {\dfrac{{25{a^2}}}{{32}} + \dfrac{{225{a^2}}}{{32}}} = \dfrac{{5\sqrt 5 a}}{4} = R$.

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABCD$ là $S = 4\pi {R^2} = \dfrac{{125\pi }}{4}{a^2}$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.