Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,\,AB = 12cm,\,\,AC = 16cm\). Vẽ đường cao\(AH\,\,(H \in BC)\), đường

Câu hỏi số 325539:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,\,AB = 12cm,\,\,AC = 16cm\). Vẽ đường cao\(AH\,\,(H \in BC)\), đường phân giác \(BD\) của góc \(ABC\) cắt \(AH\) tại \(E\,\,(D \in AC)\).

a) Chứng minh: tam giác \(ABH\) đồng dạng với tam giác \(ABC\), từ đó suy ra \(B{A^2} = BH.BC\).

b) Tính \(AD\).

c) Chứng minh \(\frac{{DB}}{{EB}} = \frac{{DC}}{{DA}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325539

Phương pháp giải

a) Chứng minh 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

b) Áp dụng định lí Pitago để tính độ dài cạnh \(BC\). Sử dụng tính chất đường phân giác ta rút ra tỉ lệ thức phù hợp rồi tính độ dài cạnh \(AD\).

c) Chứng minh \(\Delta ABE\) và \(\Delta CBD\) đồng dạng theo trường hợp góc-góc và sử dụng tính chất đường phân giác của góc B ta rút ra tỉ lệ thức phù hợp suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) ta có:

\(\angle AHB = \angle BAC = {90^0}\)

\(\angle ABC\) chung

Vậy \(\Delta HBA \sim \Delta ABC\,\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

b) Áp dụng định lí Pitago trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400\\ \Rightarrow BC = 20cm\end{array}\)

Ta có \(BD\) là đường phân giác của tam giác \(ABC\) nên:

\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\) hay \(\frac{{AD}}{{12}} = \frac{{DC}}{{20}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AD}}{{12}} = \frac{{DC}}{{20}} = \frac{{AD + DC}}{{12 + 20}} = \frac{{AC}}{{32}} = \frac{{16}}{{32}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow AD = 6cm\end{array}\)

c) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta CBD\) có:

\(\angle ABE = \angle DBC\,\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\(\angle BAE = \angle C\) (cùng phụ với góc ABC)

Suy ra \(\Delta ABE \sim \Delta CBD\,\,\,\left( {g - g} \right).\)

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{EB}}{{DB}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mà \(\frac{{DC}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{BA}}\) (vì \(BD\) là đường phân giác của tam giác \(ABC\))

Vậy \(\frac{{DB}}{{EB}} = \frac{{DC}}{{DA}}\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link