Cho phương trình \({2^x} = \sqrt {m{{.2}^x}.cos\left( {\pi x} \right) - 4} ,\) với \(m\) là tham số thực.

Câu hỏi số 325724:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({2^x} = \sqrt {m{{.2}^x}.cos\left( {\pi x} \right) - 4} ,\) với \(m\) là tham số thực. Gọi \({m_0}\) là giá trị của \(m\) sao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \({m_0} \in \left[ { - 5; - 1} \right)\)

B. \({m_0} < - 5\)

C. \({m_0} \in \left[ { - 1;\,0} \right)\)

D. \({m_0} > 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325724

Phương pháp giải

- Biến đổi phương trình và nhận xét tính đối xứng của nghiệm.

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất suy ra \(m\).

Giải chi tiết

Ta có: \({2^x} = \sqrt {m{{.2}^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4} \Leftrightarrow {2^{2x}} = m{.2^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4\) \( \Leftrightarrow m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + \frac{4}{{{2^x}}} \Leftrightarrow m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + {2^{2 - x}}\)

Trong phương trình \(m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + {2^{2 - x}}\), nếu ta thay \(x\) bởi \(2 - x\) thì phương trình trở thành:

\(m\cos \left( {2\pi - \pi x} \right) = {2^{2 - x}} + {2^x} \Leftrightarrow m\cos \left( {\pi x} \right) = {2^x} + {2^{2 - x}}\)

Suy ra \(x\) và \(2 - x\) có vai trò như nhau trong phương trình nên nếu phương trình nhận \({x_0}\) làm nghiệm thì nó cũng nhận \(2 - {x_0}\) làm nghiệm.

Do đó để phương trình có đúng một nghiệm thực thì \({x_0} = 2 - {x_0} \Leftrightarrow {x_0} = 1\).

Với \(x = 1\) thì \(m\cos \pi = {2^1} + {2^1} \Leftrightarrow m = - 4\).

Thử lại,

Với \(m = - 4\) ta có: \({2^x} = \sqrt { - {{4.2}^x}.\cos \left( {\pi x} \right) - 4} \,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện: \( - {4.2^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {2^x}\cos \left( {\pi x} \right) + 1 \le 0\).

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {2^{2x}} = - {4.2^x}\cos \left( {\pi x} \right) - 4 \Leftrightarrow {2^x} = - 4\cos \left( {\pi x} \right) - {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^x} + {2^{2 - x}} = - 4\cos \left( {\pi x} \right)\).

Ta thấy: \({2^x} + {2^{2 - x}} \ge 2\sqrt {{2^x}{{.2}^{2 - x}}} = 4\) và \(\cos \left( {\pi x} \right) \ge - 1 \Rightarrow - 4\cos \left( {\pi x} \right) \le 4\).

Suy ra \({2^x} + {2^{2 - x}} = 4 = - 4\cos \left( {\pi x} \right) \Leftrightarrow x = 1\).

Vậy với \(m = - 4\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Kiểm tra các đáp án ta thấy A thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.