Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy ABC vuông tại C, CH vuông góc với AB tại H, I là trung điểm của

Câu hỏi số 325725:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy ABC vuông tại C, CH vuông góc với AB tại H, I là trung điểm của đoạn HC. Biết SI vuông góc với mặt phẳng đáy, \(\angle ASB = {90^0}\). Gọi \(O\) là trung điểm của đoạn \(AB,\,\,O'\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(SABI\). Góc tạo bởi đường thẳng \(OO'\) vàm mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng:

A. \({60^0}\)

B. \({30^0}\)

C. \({90^0}\)

D. \({45^0}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325725

Phương pháp giải

- Dựng tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

- Xác định góc giữa \(OO'\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), chú ý tìm một đường thẳng song song với \(OO'\) suy ra góc.

Giải chi tiết

Gọi \(J\) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IAB\).

Qua \(J\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(\left( {IAB} \right)\), cắt mặt phẳng trung trực của \(SI\) tại \(O'\) thì \(O'\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(SIAB\).

Lại có \(O'J \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {OO',\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {OO',OJ} \right)}\).

Do tam giác \(SAB\) vuông nên \(OO'\) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAB\) hay \(OO' \bot \left( {SAB} \right)\).

Kẻ \(IK \bot SH\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AH\\AB \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow AB \bot IK\).

Do đó \(IK \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(IK//OO'\).

Ngoài ra \(OJ \bot AB\) (trung trực của \(AB\)) và \(IH \bot AB\) nên \(IH//OJ\).

Từ đó \(\widehat {\left( {OO',OJ} \right)} = \widehat {\left( {IK,IH} \right)} = \widehat {KIH}\).

Trong các tam giác vuông \(CAB,SAB\) ta có: \(C{H^2} = HA.HB = S{H^2} \Rightarrow CH = SH\).

Lại có \(SI\) vừa là đường cao vưà là trung tuyến trong tam giác \(SCH\) nên tam giác \(SCH\) cân tại \(S \Rightarrow SC = SH = CH\) hay tam giác \(SCH\) đều.

\( \Rightarrow \widehat {KHI} = {60^0} \Rightarrow \widehat {KIH} = {30^0}\).

Vậy góc giữa \(OO'\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({30^0}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.