Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi

Câu hỏi số 325726:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số \(y = f\left( {f\left( x \right) + 2} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. \(10\)

B. \(11\)

C. \(12\)

D. \(9\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325726

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm \(\left[ {f\left( {f\left( x \right) + 2} \right)} \right]'\) và tìm nghiệm.

- Số nghiệm bội lẻ của \(\left[ {f\left( {f\left( x \right) + 2} \right)} \right]'\) chính là số điểm cực trị cần tìm.

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = \left[ {f\left( {f\left( x \right) + 2} \right)} \right]' = f'\left( x \right).f'\left( {f\left( x \right) + 2} \right)\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\f'\left( {f\left( x \right) + 2} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Xét \(\left( 1 \right)\): \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1} \in \left( {1;2} \right)\\x = 2\\x = {x_2} \in \left( {2;3} \right)\end{array} \right.\) hay phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt.

Xét \(\left( 2 \right)\): \(f'\left( {f\left( x \right) + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) + 2 = {x_1}\\f\left( x \right) + 2 = 2\\f\left( x \right) + 2 = {x_2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {x_1} - 2 \in \left( { - 1;0} \right)\\f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = {x_2} - 2 \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(f\left( x \right) = {x_1} - 2\) có \(4\) nghiệm phân biệt.

Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt, trong đó có \(2\) nghiệm đơn và \(1\) nghiệm kép (bội hai).

Phương trình \(f\left( x \right) = {x_2} - 2\) có \(2\) nghiệm phân biệt.

Suy ra phương trình \(y' = 0\) có tất cả \(3 + 4 + 2 + 2 = 11\) nghiệm đơn phân biệt.

Vậy hàm số đã cho có \(11\) điểm cực trị.

Chú ý khi giải

Một số em có thể sẽ quên mất khi xét số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt mà không loại đi nghiệm kép dẫn đến chọn nhầm đáp án C là sai.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.