Trong không gian ho hai điểm \(A,B\) cố định và độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng 4. Biết rằng

Câu hỏi số 325728:

Vận dụng cao

Trong không gian ho hai điểm \(A,B\) cố định và độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng 4. Biết rằng tập hợp các điểm \(m\) sao cho \(MA = 3MB\) là một mặt cầu. Bán kính của mặt cầu bằng:

A. \(3\)

B. \(\frac{9}{2}\)

C. \(1\)

D. \(\frac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325728

Phương pháp giải

- Biến đổi \(MA = 3MB \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} - 9{\overrightarrow {MB} ^2} = 0\).

- Tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = 9\overrightarrow {IB} \).

- Xen điểm \(I\) vào đẳng thức \({\overrightarrow {MA} ^2} - 9{\overrightarrow {MB} ^2} = 0\) và tính \(MI\).

Giải chi tiết

Ta có: \(MA = 3MB \Leftrightarrow M{A^2} - 9M{B^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} - 9{\overrightarrow {MB} ^2} = 0\).

Ta tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 9\overrightarrow {IB} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = 9\overrightarrow {IB} \).

Đặt \(IB = x \Rightarrow IA = 9x\) \( \Rightarrow 4 = AB = IA - IB = 9x - x = 8x \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\).

Do đó \(IA = \dfrac{9}{2},IB = \dfrac{1}{2}\).

Khi đó \({\overrightarrow {MA} ^2} - 9{\overrightarrow {MB} ^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 9{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + I{A^2} - 9\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + I{B^2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow M{I^2} + I{A^2} - 9M{I^2} - 9I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} - 9\overrightarrow {IB} } \right) = 0\) \( \Leftrightarrow - 8M{I^2} + I{A^2} - 9I{B^2} = 0\)

\( \Rightarrow - 8M{I^2} + {\left( {\dfrac{9}{2}} \right)^2} - 9.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow - 8M{I^2} = - 18 \Leftrightarrow M{I^2} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow MI = \dfrac{3}{2}\).

Vậy \(M\) nằm trên mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(MI = \dfrac{3}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.