Khi cắt hình nón có chiều cao \(16\,cm\) và đường kính đáy \(24\,cm\) bởi một mặt phẳng song

Câu hỏi số 325959:

Vận dụng

Khi cắt hình nón có chiều cao \(16\,cm\) và đường kính đáy \(24\,cm\) bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây?

A. \(170\)

B. \(260\)

C. \(294\)

D. \(208\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325959

Phương pháp giải

+) Xác định thiết diện thu được là Parabol

+) Tính diện tích parabol có chiều cao \(h\) và bán kính \(R\) là \(S = \dfrac{4}{3}Rh\)

+) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của \(S.\)

+) Cho 4 số \(a;b;c;d\) không âm thì \(\dfrac{{a + b + c + d}}{4} \ge \sqrt[4]{{abcd}}\). Dấu = xảy ra khi \(a = b = c = d\).

Giải chi tiết

Khi cắt hình nón bởi mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón thì ta được thiết diện là một parabol.

Giả sử thiết diện như hình vẽ.

Khi đó ta luôn có \(AB \bot MH\).

Kẻ \(HE//SA\) trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)

Khi đó \(SA//\left( {HME} \right)\)

Đặt \(BH = x\left( {0 < x < 24} \right)\) , ta có \(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {{{16}^2} + {{12}^2}} = 20\,cm\)

Xét tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\) có \(M{H^2} = AH.BH = x\left( {24 - x} \right) \Rightarrow MH = \sqrt {x\left( {24 - x} \right)} \) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Xét tam giác \(SAB\) có \(HE//SA \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{AB}} = \dfrac{{HE}}{{SA}} \Leftrightarrow HE = \dfrac{{x.20}}{{24}} = \dfrac{5}{6}x\)

Thiết diện parabol có chiều cao \(HE = \dfrac{5}{6}x\) và bán kính \(r = MH = x\left( {24 - x} \right)\)

Diện tích thiết diện là \(S = \dfrac{4}{3}HE.MH = \dfrac{4}{3}.\dfrac{5}{6}x.\sqrt {x\left( {24 - x} \right)} = \dfrac{{10}}{9}\sqrt {x.x.x\left( {24 - x} \right)} \)

\( = \dfrac{{10}}{{9\sqrt 3 }}\sqrt {x.x.x\left( {72 - 3x} \right)} \mathop \le \limits^{C\^o - si} \dfrac{{10}}{{9\sqrt 3 }}.\sqrt {{{\left( {\dfrac{{x + x + x + 72 - 3x}}{4}} \right)}^4}} \approx 207,8c{m^2}\)

Dấu = xảy ra khi \(x = 72 - 3x \Leftrightarrow x = 18\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là \(S \approx 207,8c{m^2}.\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.