Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Khoảng cách giữa \(AB\) và \(B'C\) là \(\dfrac{{2a\sqrt 5

Câu hỏi số 325960:

Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Khoảng cách giữa \(AB\) và \(B'C\) là \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa \(BC\) và \(AB'\) là \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa \(AC\) và \(BD'\) là \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Tính thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).

A. \(4{a^3}\)

B. \(3{a^3}\)

C. \(5{a^3}\)

D. \(2{a^3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325960

Phương pháp giải

- Xác định các đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng \(AB\) và \(B'C\), \(BC\) và \(AB'\).

- Dựa vào giải thiết khoảng cách nhận xét tính chất của hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\).

- Xác định độ dài đoạn vuông góc chung của \(AC\) và \(BD'\).

- Tính độ dài các cạnh cảu hình hộp chữ nhật và suy ra thể tích

Giải chi tiết

Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(B\) lên \(B'C\) và \(B'A\)

Dễ thấy \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(AB \bot BE\).

Lại có \(BE \bot B'C\) nên \(d\left( {AB,B'C} \right) = BE = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Tương tự có \(d\left( {BC,AB'} \right) = BF = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Xét các tam giác vuông \(BCB'\) và \(BAB'\) có: \(\dfrac{1}{{B{E^2}}} = \dfrac{1}{{B{F^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{B'{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}} = \dfrac{1}{{B'{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{A^2}}}\)\( \Leftrightarrow BC = BA\) hay \(ABCD\) là hình vuông.

Suy ra \(BD \bot AC\). Lại có \(AC \bot D'D\) nên \(AC \bot \left( {BDD'} \right)\).

Gọi \(M = AC \cap BD\), \(O\) là tâm hình hộp và \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(BD'\).

Khi đó \(AC \bot MH\) và \(MH \bot BD'\) nên \(d\left( {AC,BD'} \right) = MH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Đặt \(BA = BC = x,BB' = y\) ta có:

Tam giác \(BB'C\) vuông nên \(\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\,\,\left( 1 \right)\).

Tam giác \(BMO\) vuông nên \(\dfrac{1}{{M{B^2}}} + \dfrac{1}{{M{O^2}}} = \dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}}\).

Mà \(MB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{2},MO = \dfrac{1}{2}DD' = \dfrac{y}{2}\) nên \(\dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{y}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{4}{{{y^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\\\dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{4}{{{y^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}}\\\dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = 2a\end{array} \right.\).

Vậy thể tích khối hộp \(V = BA.BC.BB' = a.a.2a = 2{a^3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.