Cho \(x,y,z\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {8{x^2} + 3{y^2} + 14xy} }}

Câu hỏi số 326391:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {8{x^2} + 3{y^2} + 14xy} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {8{y^2} + 3{z^2} + 14yz} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {8{z^2} + 3{x^2} + 14xz} }} \le \frac{{x + y + z}}{5}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:326391

Phương pháp giải

Biến đổi từng căn thức ở mẫu thông qua BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \({x^2} + {y^2} \ge 2xy.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {8{x^2} + 3{y^2} + 14xy} = \sqrt {8{x^2} + 3{y^2} + 12xy + 2xy} \le \sqrt {8{x^2} + 3{y^2} + 12xy + {x^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {8{x^2} + 3{y^2} + 14xy} \le \sqrt {9{x^2} + 12xy + 4{y^2}} = \sqrt {{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}} = 3x + 2y\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {8{y^2} + 3{z^2} + 14yz} \le 3y + 2z\\\sqrt {8{z^2} + 3{x^2} + 14xz} \le 3z + 2x\end{array} \right.\)

Áp dụng BĐT Cauchy Schawz: \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} + \frac{{{c^2}}}{z} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{x + y + z}}\) ta được:

\( \Rightarrow VT \ge \frac{{{x^2}}}{{3x + 2y}} + \frac{{{y^2}}}{{3y + 2z}} + \frac{{{z^2}}}{{3z + 2x}} \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{3x + 2y + 3y + 2z + 3z + 2x}} = \frac{{x + y + z}}{5}.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x = y = z.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link