Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số nguyên \(m\) sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt

Câu hỏi số 327180:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số nguyên \(m\) sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt \({z_1},\,{z_2}\) thỏa mãn đồng thời các phương trình \(\left| {z - 1} \right| = \left| {z - i} \right|\) và \(\left| {z + 2m} \right| = m + 1\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327180

Phương pháp giải

+) Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), tìm mối liên hệ giữa \(a;b\).

+) Từ giả thiết \(\left| {z + 2m} \right| = m + 1\) rút ra phương trình bậc hai ẩn \(a\) , tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {a + bi - 1} \right| = \left| {a + bi - i} \right| \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 2a + 1 = - 2b + 1 \Leftrightarrow a = b \Rightarrow z = a + ai\\ \Rightarrow \left| {z + 2m} \right| = m + 1 \Leftrightarrow \left| {a + ai + 2m} \right| = m + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 2m} \right)^2} + {a^2} = {m^2} + 2m + 1\,\,\,\,\left( {m \ge - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 4ma + 3{m^2} - 2m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Do tồn tại 2 số phức phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

\(\Delta ' = 4{m^2} - 2\left( {3{m^2} - 2m - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow - 2{m^2} + 4m + 2 > 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 < m < 1 + \sqrt 2 \).

Vì \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;\,2} \right\} = S\). Vậy tổng các phần tử của \(S\) bằng 3.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.