Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} +

Câu hỏi số 327837:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\) và hai điểm \(A\left( {4;3;1} \right),B\left( {3;1;3} \right)\); \(M\) là điểm thay đổi trên \(\left( S \right).\) Gọi \(m,n\) là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2M{A^2} - M{B^2}\) . Xác định \(\left( {m - n} \right)\).

A. \(64\)

B. \(68\)

C. \(60\)

D. \(48\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327837

Phương pháp giải

+ Xác định điểm \(I\) sao cho \(2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) . Từ đó \({P_{\max }} \Leftrightarrow I{M_{\max }};\,{P_{\min }} \Leftrightarrow I{M_{\min }}\)

+ Từ đó tìm GTLN và GTNN của \(IM\) với \(M \in \) mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(K\) bán kính \(R.\)

+ Lập luận để có \(\min IM = IK - R;\,\max IM = IK + R\)

Giải chi tiết

Gọi điểm \(I\left( {x;y;z} \right)\) sao cho \(2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \Leftrightarrow 2\left( {x - 4;y - 3;z - 1} \right) = \left( {x - 3;y - 1;z - 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 4} \right) = x - 3\\2\left( {y - 3} \right) = y - 1\\2\left( {z - 1} \right) = z - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\\z = - 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {5;5; - 1} \right)\end{array}\)

Suy ra \(IA = 3;IB = 6\)

Xét \(P = 2M{A^2} - M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} = 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 2I{A^2} - M{I^2} - 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} - I{B^2}\\ = M{I^2} + 2I{A^2} - I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2.\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} } \right) = M{I^2}.\end{array}\)

Suy ra \({P_{\max }} \Leftrightarrow I{M_{\max }};\,\,\,\,\,{P_{\min }} \Leftrightarrow I{M_{\min }}\) với \(M \in \left( S \right)\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(K\left( {1;2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 3.\) Nên \(IK = 5\).

Khi đó đường thẳng \(IK\) giao với mặt cầu tại hai điểm \({M_1};{M_2}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{M_{\min }} = I{M_1} = IK - R = 5 - 3 = 2\\I{M_{\max }} = I{M_2} = IK + R = 5 + 3 = 8\end{array} \right.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{P_{\min }} = n = IM_1^2 = {2^2} = 4\\{P_{\max }} = m = IM_2^2 = {8^2} = 64\end{array} \right.\)

Suy ra \(m - n = 64 - 4 = 60.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.