Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của
Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là \(20\) mét và \(15\) mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là \(30\) mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao của hai hình tròn là \(300\) nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là \(100\) nghìn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào nhất trong các số dưới đây?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Tính diện tích phần giao của hai hình tròn.
Chia làm hai hình viên phân và tính diện tích của chúng bằng cách gắn hệ trục tọa độ và sử dụng công thức tích phân \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
- Tính diện tích phần còn lại của sân khấu và suy ra chi phí.
Đặt \(OH = x \Rightarrow O'H = 30 - x\).
Ta có: \(\Delta AHO\) vuông tại \(H\) nên \(A{H^2} = O{A^2} - O{H^2} = 400 - {x^2}\)
\(\Delta AHO'\) vuông tại \(H\) nên : \(A{H^2} = O'{A^2} - O'{H^2} = 225 - {\left( {30 - x} \right)^2}\)
\( \Rightarrow 400 - {x^2} = 225 - {\left( {30 - x} \right)^2} \Leftrightarrow x = \frac{{215}}{{12}}\)
\( \Rightarrow OH = \frac{{215}}{{12}},\,\,\,O'H = \frac{{145}}{{12}}.\)
Khi đó \(AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = \frac{{5\sqrt {455} }}{{12}}\).
Ta tính diện tích phần giao của hai đường tròn (bằng tổng diện tích hai hình viên phân chắn bởi cung \(AB\) và dây \(AB\) ở mỗi đường tròn)
+) Xét hình viên phân tạo bởi dây và cung \(AB\) của hình tròn tâm \(O\) bán kính \(20\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ trên.
Ở đó hình viên phân tạo bởi cung và dây \(AB\) giới hạn bởi nửa đường tròn \(y = \sqrt {400 - {x^2}} \) và đường thẳng \(y = \frac{{215}}{{12}}\)
Phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt {400 - {x^2}} = \frac{{215}}{{12}} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\sqrt {455} }}{{12}}\).
Do đó diện tích \({S_1} = \int\limits_{ - \frac{{5\sqrt {455} }}{{12}}}^{\frac{{5\sqrt {455} }}{{12}}} {\left( {\sqrt {400 - {x^2}} - \frac{{215}}{{12}}} \right)dx} \approx 24,96\left( m \right)\).
+) Xét hình viên phân tạo bởi dây và cung \(AB\) của hình tròn tâm \(O'\) bán kính \(15\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ trên. Ở đó hình viên phân tạo bởi cung và dây \(AB\) giới hạn bởi nửa đường tròn \(y = \sqrt {225 - {x^2}} \) và đường thẳng \(y = \frac{{145}}{{12}}\) .
Phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt {225 - {x^2}} = \frac{{145}}{{12}} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\sqrt {455} }}{{12}}\).
Do đó diện tích \({S_2} = \int\limits_{ - \frac{{5\sqrt {455} }}{{12}}}^{\frac{{5\sqrt {455} }}{{12}}} {\left( {\sqrt {225 - {x^2}} - \frac{{145}}{{12}}} \right)dx} \approx 35,3\left( m \right)\).
Diện tích phần giao của hai hình tròn là: \(S = {S_1} + {S_2} = 24,96 + 35,3 = 60,26\left( m \right)\).
Diện tích phần còn lại của hình tròn là: \(S' = \left( {\pi {{.20}^2} - 60,26} \right) + \left( {\pi {{.15}^2} - 60,26} \right) \approx 1842,98\left( m \right)\).
Vậy tổng chi phí là: \(1842,98 \times 100.000 + 60,26 \times 300.000 = 202.376.000\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
