Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\left[ {f\left( {x + h} \right)

Câu hỏi số 327839:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\left[ {f\left( {x + h} \right) - f\left( {x - h} \right)} \right] \le {h^2},\,\forall x \in \mathbb{R};\forall h > 0\)

Đặt \(g\left( x \right) = {\left[ {x + f'\left( x \right)} \right]^{2019}} + {\left[ {x + f'\left( x \right)} \right]^{29 - m}} - \left( {{m^4} - 29{m^2} + 100} \right){\sin ^2}x - 1,\,m\) là tham số nguyên và \(m < 27.\) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của \(m\) sao cho hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0.\) Tính tổng bình phương các phần tử của \(S.\)

A. \(108\)

B. \(58\)

C. \(100\)

D. \(50\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327839

Phương pháp giải

Từ giả thiết ta biến đổi để có \(f'\left( x \right) = 0\).

Xét hàm \(g\left( x \right)\), tính \(g'\left( x \right);g''\left( x \right)\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) thì \(g'\left( 0 \right) = 0\) và \(g''\left( 0 \right) = 0\) hoặc \(g''\left( 0 \right) > 0.\)

Giải chi tiết

Với \(\forall h > 0\) ta có

\(\begin{array}{l}\left| {f\left( {x + h} \right) - f\left( {x - h} \right)} \right| \le {h^2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {f\left( {x + h} \right) - f\left( {x - h} \right)} \right|}}{h} \le h\\ \Leftrightarrow - h \le \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right) + f\left( x \right) - f\left( {x - h} \right)}}{h} \le h\\ \Leftrightarrow - h \le \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} + \frac{{f\left( {x - h} \right) - f\left( x \right)}}{h} \le h\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \left( { - h} \right) \le \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} + \frac{{f\left( {x - h} \right) - f\left( x \right)}}{h} \le \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} h.\end{array}\)

Mà \(f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{f\left( {x - h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\)

\( \Rightarrow 0 \le f'\left( x \right) + f'\left( x \right) \le 0 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra : \(g\left( x \right) = {x^{2019}} + {x^{29 - m}} - \left( {{m^4} - 29{m^2} + 100} \right){\sin ^2}x - 1\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2019.{x^{2018}} + \left( {29 - m} \right){x^{28 - m}} - \left( {{m^4} - 29{m^2} + 100} \right)\sin 2x\)

Và \(g''\left( x \right) = 2019.2018{x^{2017}} + \left( {29 - m} \right)\left( {28 - m} \right){x^{27 - m}} - 2\left( {{m^4} - 29{m^2} + 100} \right)\cos 2x\)

Ta thấy \(g'\left( 0 \right) = 0;\,\,\,\,\forall m < 27.\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) thì ta xét hai trường hợp \(g''\left( 0 \right) = 0\) hoặc \(g''\left( 0 \right) > 0\)

Xét \(g''\left( 0 \right) = - 2\left( {{m^4} - 29{m^2} + 100} \right)\)

TH1 : Với \(g''\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^4} - 29{m^2} + 100 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\\{m^2} = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\,\\m = - 2\,\,\,\\m = 5\,\,\,\,\\m = - 5\,\,\,\end{array} \right.\)

+ Nếu \(m = 2 \Rightarrow g\left( x \right) = {x^{2019}} + {x^{27}} - 1 \Rightarrow \,g'\left( x \right) = {x^{26}}\left( {2019{x^{1992}} + 27} \right)\) không đổi dấu qua \(x = 0.\) (loại)

+ Nếu \(m = - 2 \Rightarrow g\left( x \right) = {x^{2019}} + {x^{31}} - 1 \Rightarrow g'\left( x \right) = {x^{30}}\left( {2019{x^{1988}} + 31} \right)\) không đổi dấu qua \(x = 0.\) (loại)

+ Nếu \(m = 5 \Rightarrow g\left( x \right) = {x^{2019}} + {x^{24}} - 1 \Rightarrow g'\left( x \right) = {x^{23}}\left( {2019{x^{1995}} + 24} \right)\) đổi dấu qua \(x = 0\) và \(x = - \sqrt[{1995}]{{\frac{{24}}{{2019}}}}.\)

Nhận thấy \(g'\left( x \right) > 0;\,\forall x > 0\) và \(g'\left( x \right) < 0;\,\forall x \in \left( { - \sqrt[{1995}]{{\frac{{24}}{{2019}}}};0} \right)\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0.\)

+ Nếu \(m = - 5 \Rightarrow g\left( x \right) = {x^{2019}} + {x^{34}} - 1 \Rightarrow g'\left( x \right) = {x^{33}}\left( {2019{x^{1985}} + 34} \right)\) đổi dấu qua \(x = 0\) và \(x = - \sqrt[{1985}]{{\frac{{34}}{{2019}}}}.\)

Nhận thấy \(g'\left( x \right) > 0;\,\forall x > 0\) và \(g'\left( x \right) < 0;\,\forall x \in \left( { - \sqrt[{1995}]{{\frac{{34}}{{2019}}}};0} \right)\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0.\)

TH2 : Với \(g''\left( 0 \right) > 0 \Rightarrow 4 < {m^2} < 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 < m < 5\\ - 5 < m < - 2\end{array} \right.\) và \(g'\left( 0 \right) = 0;\,\forall m < 27.\)

Nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0.\)

Vậy các giá trị nguyên của \(m\,\,\,\,\left( {m < 27} \right)\) thỏa mãn đề bài là \(m \in S = \left\{ { - 5; - 4; - 3;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\)

Tổng các bình phương các phân tử của \(S\) là \({\left( { - 5} \right)^2} + {\left( { - 4} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + {3^2} + {4^2} + {5^2} = 100\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.