Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để có đúng \(4\) số phức \(z\) thỏa mãn

Câu hỏi số 327844:

Vận dụng

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để có đúng \(4\) số phức \(z\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = \left| {{z^2}} \right|\) và \(\left| z \right| = m\)?

A. \(\left\{ {2;2\sqrt 2 } \right\}\)

B. \(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)

C. \(\left\{ 2 \right\}\)

D. \(\left( {2;2\sqrt 2 } \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327844

Phương pháp giải

- Đặt \(z = a + bi\).

- Đưa bài toán về hệ phương trình ẩn \(a,b\) và tìm điều kiện để hệ có đúng \(4\) nghiệm.

Chú ý: Nhận xét kiểu nghiệm của phương trình để suy ra các trường hợp có thể có của nghiệm.

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\) ta có:

\(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = \left| {{z^2}} \right| \Leftrightarrow \left| {2a} \right| + \left| {2b} \right| = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)\).

Lại có \(\left| z \right| = m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\{a^2} + {b^2} = {m^2}\end{array} \right.\).

Do đó bài toán trở thành tìm \(m \ge 0\) để hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)\\{a^2} + {b^2} = {m^2}\end{array} \right.\) có đúng \(4\) nghiệm phân biệt \(\left( {a;b} \right)\).

Nhận xét: Nếu hệ trên nhận một cặp số \(\left( {a;b} \right)\) làm nghiệm thì nó cũng nhận các cặp số \(\left( {a; - b} \right),\left( { - a;b} \right),\left( { - a; - b} \right),\left( {b;a} \right),\left( {b; - a} \right),\left( { - b;a} \right),\left( { - b; - a} \right)\) làm nghiệm.

Do đó để hệ có đúng bốn nghiệm phân biệt \(\left( {a;b} \right)\) thì các nghiệm chỉ có thể thỏa mãn: Một trong hai số \(a,b\) bằng \(0\) và số còn lại khác \(0\) hoặc hai số \(a,b\) thỏa mãn \(\left| a \right| = \left| b \right| \ne 0\).

Ta chia làm hai trường hợp:

+) TH1: Nếu hệ có nghiệm thỏa mãn \(a = 0\) hoặc \(b = 0\) thì \(m = 2\) (dễ dàng kiểm tra bằng cách thay \(a = 0\) hoặc \(b = 0\) vào hệ.

Thử lại: \(m = 2\) thì hệ trở thành:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)\\{a^2} + {b^2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow 4 = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right) \Leftrightarrow \left| a \right| + \left| b \right| = 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2\left| {ab} \right| = 4\\ \Leftrightarrow 4 + 2\left| {ab} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {ab} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Nếu \(a = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 2\left| b \right|\\{b^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow b = \pm 2\).

Nếu \(b = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 2\left| a \right|\\{a^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \pm 2\).

Khi đó hệ có đúng \(4\) nghiệm \(\left( {0;2} \right),\left( {0; - 2} \right),\left( { - 2;0} \right),\left( {2;0} \right)\) nên \(m = 2\) thỏa mãn.

+) TH2: Nếu hệ có nghiệm thỏa mãn \(\left| a \right| = \left| b \right| \ne 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}2{a^2} = 4\left| a \right|\\2{a^2} = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = 2\\{m^2} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \pm 2\\m = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = \pm 2\\m = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\).

Do đó \(m = 2\sqrt 2 \) và hệ có đúng \(4\) nghiệm \(\left( {2;2} \right),\left( { - 2; - 2} \right),\left( {2; - 2} \right),\left( { - 2;2} \right)\).

Vậy tập hợp các giá trị của \(m\) là \(\left\{ {2;2\sqrt 2 } \right\}\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.