Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi ^2}} {\sqrt x \sin \sqrt x dx} = a{\pi ^2} + b\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 327845: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi ^2}} {\sqrt x \sin \sqrt x dx} = a{\pi ^2} + b\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(\frac{a}{b} < - 3\)
B. \({a^2} - b = - 4\)
C. \(a - b = 6\)
D. \(\frac{a}{b} \in \left( { - 1;10} \right)\)
Quảng cáo
Đổi biến số \(\sqrt x = t\)
Sử dụng phương pháp tích phân từng phấn
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(\sqrt x = t \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt x }}dx = dt \Leftrightarrow dx = 2tdt\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\,x = {\pi ^2} \Rightarrow t = \pi \)
Ta có \(I = \int\limits_0^\pi {2{t^2}\sin tdt} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}2{t^2} = u\\\sin tdt = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4tdt = du\\v = - \cos t\end{array} \right.\)
Suy ra \(I = - \left. {\cos t.2{t^2}} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {4t\cos tdt} = 2{\pi ^2} + J\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}4t = {u_1}\\\cos tdt = d{v_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4dt = d{u_1}\\\sin t = {v_1}\end{array} \right.\)
Suy ra \(J = \left. {4t\sin t} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {4\sin tdt = \left. {4\cos t} \right|_0^\pi = - 4 - 4 = - 8} \)
Do đó \(I = 2{\pi ^2} - 8 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\end{array} \right. \Rightarrow \frac{a}{b} = - \frac{1}{4} \in \left( { - 1;10} \right)\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
