Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi ^2}} {\sqrt x \sin \sqrt x dx} = a{\pi ^2} + b\left( {a,b \in \mathbb{Z}}

Câu hỏi số 327845:

Vận dụng

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi ^2}} {\sqrt x \sin \sqrt x dx} = a{\pi ^2} + b\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\frac{a}{b} < - 3\)

B. \({a^2} - b = - 4\)

C. \(a - b = 6\)

D. \(\frac{a}{b} \in \left( { - 1;10} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327845

Phương pháp giải

Đổi biến số \(\sqrt x = t\)

Sử dụng phương pháp tích phân từng phấn

Giải chi tiết

Đặt \(\sqrt x = t \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt x }}dx = dt \Leftrightarrow dx = 2tdt\)

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\,x = {\pi ^2} \Rightarrow t = \pi \)

Ta có \(I = \int\limits_0^\pi {2{t^2}\sin tdt} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}2{t^2} = u\\\sin tdt = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4tdt = du\\v = - \cos t\end{array} \right.\)

Suy ra \(I = - \left. {\cos t.2{t^2}} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {4t\cos tdt} = 2{\pi ^2} + J\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}4t = {u_1}\\\cos tdt = d{v_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4dt = d{u_1}\\\sin t = {v_1}\end{array} \right.\)

Suy ra \(J = \left. {4t\sin t} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {4\sin tdt = \left. {4\cos t} \right|_0^\pi = - 4 - 4 = - 8} \)

Do đó \(I = 2{\pi ^2} - 8 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\end{array} \right. \Rightarrow \frac{a}{b} = - \frac{1}{4} \in \left( { - 1;10} \right)\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.