Nếu \(\tan \alpha \) và \(\tan \beta \) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - px + q = 0{\rm{

Câu hỏi số 328461:

Vận dụng cao

Nếu \(\tan \alpha \) và \(\tan \beta \) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - px + q = 0{\rm{ }}\,\,\left( {q \ne 1} \right)\) thì giá trị biểu thức \(P = {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + p\sin \left( {\alpha + \beta } \right).\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + q{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\) bằng:

A. \(p\)

B. \(q\)

C. \(1\)

D. \(\frac{p}{q}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:328461

Phương pháp giải

Áp dụng định lý Vi-ét và công thức lượng giác để tính \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }}\)

Áp dụng công thức \({\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\alpha + \beta } \right)}}\) tính \({\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\) theo p,q

Nhân và chia biểu thức P cho \({\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0,\) biến đổi để tính.

Giải chi tiết

Ta có \(\tan \alpha \) và \(\tan \beta \) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - px + q = 0{\rm{ }}\,\,\left( {q \ne 1} \right)\)

Theo định lý Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha + \tan \beta = p\\\tan \alpha .\tan \beta = q\end{array} \right. \Rightarrow \tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }} = \frac{p}{{1 - q}}\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\alpha + \beta } \right)}} = \frac{1}{{1 + \frac{{{p^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}}} = \frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}\)

\(\begin{array}{l}q \ne 1 \Rightarrow \frac{{\sin \alpha .\sin \beta }}{{\cos \alpha .\cos \beta }} \ne 1 \Rightarrow \sin \alpha .\sin \beta \ne \cos \alpha .\cos \beta \\ \Rightarrow \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha .\cos \beta - \sin \alpha .\sin \beta \ne 0\\ \Rightarrow P = {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\left[ {1 + p.\frac{{\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\cos \left( {\alpha + \beta } \right)}} + q.\frac{{{{\sin }^2}\left( {\alpha + \beta } \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\alpha + \beta } \right)}}} \right]\\ = {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\left[ {1 + p.\tan \left( {\alpha + \beta } \right) + q.{{\tan }^2}\left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\\ = \frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}\left[ {1 + \frac{{{p^2}}}{{1 - q}} + \frac{{{p^2}q}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}} \right] = \frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}\left( {1 - q} \right) + {p^2}q}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}} = 1.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.