Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + +

Câu hỏi số 3291:

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{a^{5}+b^{5}}{ab(a+b)}$ + $\frac{b^{5}+c^{5}}{bc(b+c)}$ + $\frac{c^{5}+a^{5}}{ca(c+a)}$

A. Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{1}{3}$

B. Giá trị nhỏ nhất của P là - $\frac{1}{3}$

C. Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{3}{2}$

D. Giá trị nhỏ nhất của P là - $\frac{3}{2}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3291

Giải chi tiết

Ta chứng minh $\frac{a^{5}+b^{5}}{ab(a+b)}$ ≥ $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$ (*)

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với

2(a⁵ + b⁵) ≥ ab(a + b)(a² + b²)

⇔2(a + b)(a⁴ – a³b + a²b² – ab³ + b⁴) ≥ ab(a + b)(a² + b²)

⇔2(a⁴ + a² b² + b⁴) ≥ 3ab(a² + b²)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có

2(a⁴ + a²b² + b⁴) = (a⁴ + b⁴) + (a² + b²)² ≥ $\frac{3}{2}$ (a² + b²)² ≥ 3ab(a² + b²)

Vậy (*) đúng.

Tương tự ta cũng có $\frac{b^{5}+c^{5}}{bc(b+c)}$ ≥ $\frac{b^{2}+c^{2}}{2}$ ; $\frac{c^{5}+a^{5}}{ca(c+a)}$ ≥ $\frac{c^{2}+a^{2}}{2}$

Suy ra P ≥ a² + b² + c² ≥ $\frac{1}{3}$ (a + b + c)² = $\frac{1}{3}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = $\frac{1}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{1}{3}$ , đạt khi a = b = c = $\frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.