Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = 10cm,\,\,BC = 12cm\), đường cao \(AH\). Gọi \(E,F\) lần

Câu hỏi số 329263:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = 10cm,\,\,BC = 12cm\), đường cao \(AH\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\).

a) Chứng minh \(\Delta AEH \sim \Delta AHB\).

b) Chứng minh \(EF//BC\).

c) Tính \(HE\).

d) Tính diện tích tam giác \(AEF\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:329263

Phương pháp giải

a) Sử dụng các TH đồng dạng của tam giác.

b) Sử dụng định lý từ vuông góc đến song song để chứng minh song song.

c) Từ các tam giác đồng dạng, ta suy ra các tỉ lệ tương ứng, từ đó tính được độ dài cạnh HE.

d) Áp dụng tỉ lệ đồng dạng của tam giác: Cho \(\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'\) đồng dạng theo tỉ số \(k \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta A'B'C'}}}} = {k^2}.\)

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta AHB\)có:

\(\begin{array}{l}\angle H = \angle E = {90^0}\\\angle EAH\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta AEH \sim \Delta AHB\,\,\,\,\left( {g - g} \right).\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(EF\).

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AH\) là đường cao nên \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến, là đường phân giác của \(\Delta ABC\).

Xét hai tam giác vuông \(AEH\) và \(AFH\) có:

\(\angle EAH = \angle FAH\) (vì \(AH\) là tia phân giác của góc \(A\))

\(AH\) là canh chung

Vậy \(\Delta AEH = \Delta AFH\)(cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \(AE = AF\)(hai cạnh tương ứng)

Tam giác \(AEF\) cân (vì \(AE = AF\)) có \(AI\) là đường phân giác nên \(AI\) đồng thời là đường cao

\( \Rightarrow AI \bot EF \Rightarrow AH \bot EF.\)

Lại có \(AH \bot BC\), suy ra \(EF//BC\). (đpcm)

c) Ta có \(H\) là trung điểm của \(BC\) (vì \(AH\) là đường trung tuyến) nên \(BH = \frac{1}{2}BC = 6cm\).

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \(AHB\) ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {10^2} - {6^2} = 64\\ \Rightarrow AH = 8cm\end{array}\)

Lại có \(\Delta AEH \sim \Delta AHB\) (chứng minh câu a)

\( \Rightarrow \frac{{EH}}{{HB}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow EH = \frac{{HB.AH}}{{AB}} = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8cm\).

Vậy \(HE = 4,8cm.\)

d) Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) ta có:

\(\angle EAF\,\,chung\)

\(\angle AEF = \angle ABC\) (hai góc đồng vị)

\( \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC\,\,\left( {g - g} \right).\)

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}}\) (các cặp cạnh tương ứng)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho \(\Delta AEH\) ta có: \(AE = \sqrt {A{H^2} - E{H^2}} = \sqrt {{8^2} - 4,{8^2}} = 6,4\,\,cm.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{6,4}}{{10}} = \frac{{16}}{{25}}.\\ \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{16}}{{25}}} \right)^2}\\ \Rightarrow {S_{\Delta AEF}} = {\left( {\frac{{16}}{{25}}} \right)^2}.{S_{\Delta ABC}} = {\left( {\frac{{16}}{{25}}} \right)^2}.\frac{1}{2}.AH.BC\\ = {\left( {\frac{{16}}{{25}}} \right)^2}.\frac{1}{2}.8.12 = 19,6608\,\,c{m^2}.\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link