Cho ba số dương \(a,\,b,\,c\) có tổng bằng \(1\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +

Câu hỏi số 329264:

Vận dụng cao

Cho ba số dương \(a,\,b,\,c\) có tổng bằng \(1\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 9\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:329264

Phương pháp giải

- Áp dụng giả thiết ba số dương \(a,\,b,\,c\) có tổng bằng \(1\) để thay thế vào tử số của các phân số ở vế phải.

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\,\,\,\left( {\forall a,b \ge 0} \right)\)

Cho ba số dương \(a,\,b,\,c\) có tổng bằng \(1\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 9\)

Giải chi tiết

Theo giả thiết ta có: \(a + b + c = 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{{a + b + c}}{a} + \frac{{a + b + c}}{b} + \frac{{a + b + c}}{c}\\ = 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} + 1 + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + 1\\ = 3 + \left( {\frac{b}{a} + \frac{a}{b}} \right) + \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right) + \left( {\frac{c}{a} + \frac{a}{c}} \right)\\ \ge 3 + 2.\sqrt {\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}} + 2.\sqrt {\frac{b}{c} \cdot \frac{c}{b}} + 2.\sqrt {\frac{c}{a} \cdot \frac{a}{c}} \\ \ge 3 + 2.1 + 2.1 + 2.1 = 9\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}.\)

Vậy \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 9\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link