Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {\ln x} \), \(y = 0\), \(x = 1\)

Câu hỏi số 331099:

Vận dụng

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {\ln x} \), \(y = 0\), \(x = 1\) và \(x = k\,\left( {k > 1} \right)\). Kí hiệu \({V_k}\) là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\). Biết rằng \({V_k} = \pi \). Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. \(4 < k < 5\).

B. \(1 < k < 2\).

C. \(2 < k < 3\).

D. \(3 < k < 4\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:331099

Phương pháp giải

Thể tích vật thể khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),\) trục hoành, \(x = a;x = b\) quay quanh trục \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}dx} \)

Giải chi tiết

Từ đề bài, ta có: \({V_k} = \pi \Leftrightarrow \pi \int\limits_1^k {\ln xdx} = \pi \Leftrightarrow \int\limits_1^k {\ln xdx} = 1\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

Nên \(\int\limits_1^k {\ln xdx} = 1\)\( \Leftrightarrow x\left. {\ln x} \right|_1^k - \int\limits_1^k {dx} = 1\)\( \Leftrightarrow k\ln k - k + 1 = 1 \Leftrightarrow k\ln k - k = 0 \Leftrightarrow k\left( {\ln k - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\,\,\left( l \right)\\k = e\end{array} \right.\).

Vậy \(2 < k < 3\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.